보인고등학교
2024년 2학년 1학기 기말고사

보인고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 평면벡터, 공간도형, 공간좌표입니다. 벡터의 성분과 내적, 공간에서의 수직 관계, 좌표와 정사영을 함께 다루는 시험입니다.

초반에는 성분 비교, 수직 조건, 방향벡터처럼 개념을 식으로 바로 옮기는 문제가 나옵니다. 이후에는 원 위의 움직이는 점을 좌표 범위로 해석하거나 공간의 수선을 평면 안의 수선과 연결해야 합니다. 공식을 아는 것과 그 공식을 적용할 대상을 찾는 능력을 함께 점검하세요.

모두 객관식이지만 중간 근거를 생략하면 실수 원인을 찾기 어렵습니다. 정사영에서는 어느 도형이 어느 평면으로 옮겨지는지, 벡터에서는 어느 점에서 출발하는지를 짧게 적어 두세요. 후반 문제를 대비할 때도 복잡한 계산보다 그림을 평면 관계로 바꾸는 과정을 먼저 연습하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 후반 공간도형과 벡터 최적화에 주의

쉬움 문항은 1·2·3·5·7번입니다. 벡터의 성분 계산과 내적, 삼수선의 정리, 좌표 변환의 기본을 확인합니다. 분류가 쉬움이어도 부호나 좌표축을 잘못 읽으면 계산 전체가 바뀌므로, 식을 세운 뒤 원래 조건과 대조하는 검토가 필요합니다.

보통 문항에서는 개념 사이의 연결이 중요합니다. 6번은 내적에서 넓이로, 9번은 구의 중심과 반지름에서 단면의 넓이로 넘어갑니다. 16번은 후반에 있지만 보통으로 분류되어 있어 앞의 공간도형에서 막혔다는 이유로 함께 미루지 않는 것이 좋습니다.

어려움은 10번의 대칭이동을 이용한 거리 최적화부터 등장합니다. 12~15번에서는 좌표 설정, 정사영, 이면각, 수선의 발을 차례로 다루고 17·18번에서도 조건 해석이 이어집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도를 뜻하는 것은 아닙니다.

출제 단원 — 평면벡터의 비중과 공간도형의 해석 부담

평면벡터는 시험의 절반을 차지합니다. 성분 연산과 수직 조건에서 출발해 위치벡터, 내분점, 넓이비, 벡터합의 크기로 이어집니다. 성분으로 계산할 문제와 도형의 방향·비율로 해석할 문제를 구별하는 것이 학습의 중심입니다.

공간도형에서는 13·14·15·18번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 정사영과 이면각을 다루려면 그림 속 길이를 바로 계산하기 전에 수직 관계를 확보해야 합니다. 3번의 기본 삼수선 관계를 15번의 거리 계산과 18번의 평면 사이 각으로 확장해 복습하세요.

공간좌표는 좌표축과 좌표평면에 대한 변환, 구의 단면, 대칭이동을 이용한 최솟값으로 구성됩니다. 공간 문제라고 해서 모든 점의 좌표를 복잡하게 설정할 필요는 없습니다. 유지되는 좌표와 바뀌는 좌표를 먼저 구별하면 계산할 대상이 줄어듭니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목이 달라 구성 차이로 읽어야 합니다

작년 자료는 수학I이고 이번 자료는 기하로 과목이 다릅니다. 겹치는 단원 분류가 없어 단원 비중의 증감은 비교하기 어렵습니다. 표의 최다 단원도 각각의 시험 중심을 보여 주는 정보이며, 같은 학습 내용의 출제량 변화로 해석해서는 안 됩니다.

자동 분류 기준 어려움 문항 수는 작년 8문항에서 올해 7문항으로 줄었지만 전체 문항 수도 달라졌습니다. 이 숫자만으로 올해 시험이 쉬워졌다고 결론 내릴 수 없습니다. 작년에는 17·18·19·21·22번처럼 서술·단답형에도 어려움이 있었고, 올해는 모든 문항이 객관식입니다.

올해 어려움은 10·12·13·14·15·17·18번입니다. 다음 대비에서는 작년의 문항 형식보다 올해의 벡터와 공간 관계를 우선 복습하세요. 객관식 풀이에서도 수직의 근거와 최솟값이 성립하는 조건을 직접 적는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 주어진 그림을 그대로 계산하기보다 각이나 방향의 범위를 새로 정리해야 합니다. 풀이가 막히면 계산식을 늘리기 전에 기준선과 수직 관계부터 다시 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 성분과 기본 도형 관계가 바로 보이는 문항을 확보하세요. 10번에서 대칭이동의 방향이 정리되지 않으면 표시하고 11번을 확인하는 식으로 진행할 수 있습니다. 12~15번에 머물러 16번을 보지 못하는 일이 없도록 전체 문항을 훑는 연습이 필요합니다.

공간도형은 작은 보조 그림을 따로 그리면 같은 길이를 반복해서 찾는 시간을 줄일 수 있습니다. 13번은 투영된 삼각형을, 14번은 교선에 수직인 단면을, 15번은 밑면의 직각삼각형을 분리하세요. 연습할 때는 보조선을 정하는 시간과 실제 계산 시간을 구별해 기록해 보세요.

마지막 검토는 조건에 집중하세요. 5번은 예각 조건, 7번은 대칭축과 투영 평면, 8·10번은 내분과 외분의 부호가 중요합니다. 17번은 이동 범위의 경계가 가능한지, 18번은 투영 전후의 도형과 평면이 올바르게 대응하는지 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터 성분 연산과 내적을 복습하세요. 수직 조건과 예각 조건을 구분해 식을 세우는 연습부터 하세요(1·2·5·6번 대비).
2. 위치벡터의 기준점을 통일하고 내분비를 그림에 표시하세요. 선분비를 같은 높이를 갖는 삼각형의 넓이비로 연결해 보세요(8·11·16번 대비).
3. 수선의 발과 대칭이동을 좌표별로 정리하세요. 구의 중심에서 평면까지의 거리와 대칭이동 후 최단 경로를 함께 연습하세요(7·9·10번 대비).
4. 삼수선의 정리로 수직 관계를 설명해 보세요. 직선의 위치 관계를 분류하고 공간의 거리를 평면 안의 높이와 연결하세요(3·4·15번 대비).
5. 이면각과 정사영은 교선, 수선의 발, 투영 평면을 먼저 표시하세요. 각을 나타내는 단면과 넓이를 구하는 도형을 따로 그려 보세요(13·14·18번 대비).
6. 움직이는 점의 최적화는 가능한 범위부터 정리하세요. 좌표 성분의 범위와 벡터 사잇각의 범위를 비교해 접근법을 선택하세요(12·17번 대비).