양정고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

양정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

양정고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 시험은 함수의 극한과 연속에서 미분계수·도함수, 접선과 평균값 정리·롤의 정리까지 다룹니다. 단순한 극한 계산부터 연속 조건에 따른 함수 결정, 도형을 함수로 바꾼 뒤 미분가능성을 조사하는 유형까지 연결됩니다.

초반에는 미분 공식과 무리식의 극한, 사잇값의 정리 같은 기본 개념을 확인합니다. 그러나 곱함수의 연속, 입력이 이동한 함수, 교점 개수로 정의된 함수처럼 정의를 다른 표현에 적용하는 문항도 나옵니다. 공식을 외우는 것과 별개로 주어진 함수를 직접 구간별로 정리하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형도 성격이 다릅니다. 19번은 롤의 정리의 가정과 결론을 정확히 쓰고 구간 안의 후보를 고르는 기본형입니다. 20번은 연결점의 연속에 더해 구간 내부에서 분모가 영이 되지 않는 조건까지 확인해야 합니다. 두 문항을 같은 부담으로 보고 미루기보다 먼저 요구하는 작업을 살펴보세요.

난이도 분포 — 객관식 중후반에 이어지는 어려움

쉬움 문항은 미분 공식, 유리화, 부호 변화와 실근의 존재, 롤의 정리로 구성됩니다. 기본 계산 자체보다 적용 조건을 빠뜨리지 않는 것이 중요합니다. 특히 19번은 뒤에 놓였어도 정리의 가정을 정리해 두었다면 먼저 접근할 수 있습니다.

보통 문항에서는 좌우극한의 일치, 곱함수의 연결, 극한의 대소 관계를 활용합니다. 5·8번은 모두 연속 조건을 쓰지만 연결되는 식과 함수값의 입력이 다르므로 같은 계산을 반복한다고 생각하면 실수하기 쉽습니다.

7번은 접선 조건을 평균값 정리에 연결하고, 9~18번은 조건 해석과 경우 구분이 계속 요구됩니다. 자동 분류 기준 어려움이라는 표시는 풀이 부담을 파악하는 참고 자료입니다. 실제로는 구간별 함수를 정리하는 데 익숙한지에 따라 체감 난도가 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 함수의 연속과 극한을 중심으로

가장 많은 함수의연속은 단순한 연결점 계산에서 출발해 함수식 선택과 교점 개수, 역수 함수의 정의 조건까지 확장됩니다. 5번에서 곱이 연속이 되는 조건을 이해한 뒤 17번의 불연속과 곱함수 관계를 살펴보면 같은 개념이 어떻게 복잡해지는지 확인할 수 있습니다.

함수의극한은 유리화와 좌우극한뿐 아니라 모든 입력에서 극한이 존재한다는 조건, 도형의 길이, 그래프의 이동 관계를 다룹니다. 미분계수와도함수 역시 공식 계산보다 절댓값이나 거리·넓이로 정해진 함수를 구간별 식으로 만드는 과정이 중요합니다. 단원별 학습 뒤에는 연속성과 미분가능성을 함께 확인하는 문제를 묶어 풀어 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 처음 얻은 함수식이나 계수 관계가 최종 조건의 일부라는 데 있습니다. 계산을 시작하기 전에 조사할 경계와 정의역 조건을 목록으로 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번에서 익숙한 기본형을 확보하되, 5번의 연결 조건은 빠짐없이 쓰세요. 7번에서 평균값 정리 적용까지 바로 이어지지 않으면 표시하고 8번을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 9번 이후가 모두 비슷한 부담일 것이라고 예상하지 말고, 문제를 읽었을 때 구간 분할 기준이 보이는 문항부터 해결하세요.

객관식 후반에 시간을 모두 쓰기 전에 19번을 확인하세요. 롤의 정리를 말로 쓴 뒤 실제 함수의 가정과 구간 조건을 대조하면 답안의 흐름이 분명해집니다. 20번에는 연결 조건과 내부에서의 정의 조건을 모두 기록할 시간을 남겨야 합니다. 연습할 때는 전체 풀이 시간뿐 아니라 함수식을 만드는 단계에서 막힌 시간도 따로 확인하세요.

검토할 때는 3번의 양수 조건, 7·19번의 열린구간 소속 여부, 10번의 입력 변화에 따른 부호를 먼저 보세요. 13·16번은 식이 달라지는 지점과 실제로 미분가능하지 않은 지점을 혼동하지 않아야 합니다. 15번은 우극한과 함수값, 20번은 끝점에서의 연속과 구간 전체의 분모 조건을 구별해 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분 공식과 무리식 유리화를 먼저 점검하세요. 약분 가능한 인수와 극한을 취하는 순서를 말로 설명해 보세요(1·2번 대비).
2. 좌우극한과 함수값을 나란히 적는 표를 만드세요. 곱함수와 입력이 이동한 함수에서도 경계에 해당하는 입력을 다시 확인하세요(3·5·8번 대비).
3. 사잇값의 정리, 롤의 정리, 평균값 정리를 가정과 결론으로 나누어 정리하세요. 후보를 구한 뒤 구간에 속하는지 검사하세요(4·7·19번 대비).
4. 극한의 대소 관계와 미분계수의 정의를 식 변형에 적용하세요. 입력의 변화량과 분모를 같은 기준으로 맞추는 연습이 필요합니다(6·10번 대비).
5. 절댓값과 거리·넓이 조건을 구간별 함수로 바꾸세요. 경계에서 연속성을 먼저 확인하고 좌우미분계수를 비교하세요(9·13·16번 대비).
6. 그래프의 교점, 실근의 구조, 이동 관계를 함께 읽는 문제를 연습하세요. 교점 개수가 바뀌는 경계와 이동 후의 함수값을 구별하세요(11·12·14·15·17·18번 대비).
7. 역수 함수의 연속은 연결점 조건과 분모 조건을 나누어 서술하세요. 이차함수의 축이 구간 안에 있는지 확인한 뒤 후보를 검토하세요(20번 대비).