낙생고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

낙생고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

낙생고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한값 계산과 미분 공식의 기본형부터 여러 함수의 조건을 결합하는 유형까지 이어집니다.

초반에는 대입, 그래프의 좌우극한 읽기, 접선과 최대·최소처럼 접근법이 비교적 분명한 문제가 배치되어 있습니다. 그러나 같은 개념이 후반으로 가면 구간별 함수, 절댓값, 움직이는 구간과 결합됩니다. 공식 하나를 기억하는 데서 나아가 어느 구간에서 어떤 식을 써야 하는지 판단해야 합니다.

전 문항이 객관식이어도 풀이 중간의 근거 정리는 중요합니다. 불연속점이나 미분불가능점을 세는 문항에서는 후보를 얻은 뒤 실제로 성질이 바뀌는지 검증해야 합니다. 계산을 길게 밀어붙이기보다 정의역, 경계, 부호를 먼저 표시하는 풀이가 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 11번부터 이어지는 조건 해석

1~3번은 다항함수의 극한, 그래프의 한쪽 극한, 미분 공식의 기본 적용입니다. 4~10번에서는 증가량이 다른 차분몫, 미분가능한 접합, 평균값 정리, 도형의 길이 비와 연속 조건이 등장합니다. 기본 구간에서도 기호의 방향과 적용 조건을 정확하게 읽어야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 11번부터 끝까지 이어집니다. 11번의 부피 최적화 이후에는 함수의 후보 가지를 연결하거나 곱의 미분가능성을 점검하는 문제가 나옵니다. 후반에는 교점 수를 함수로 보거나 최댓값으로 새 함수를 정의하므로, 원래 함수와 새 함수의 변수를 구별해야 합니다.

이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 다만 후반에 조건 처리가 집중된 구성은 확인할 수 있습니다. 연습에서는 앞부분의 정확성과 속도를 확보한 뒤 후반 문제에 필요한 스케치와 경우 분류 시간을 남기는 방식으로 운영하세요.

출제 단원 — 미분 계산을 그래프 해석으로 확장

가장 많은 도함수의활용은 접선, 닫힌구간의 최대·최소, 평균값 정리에서 시작합니다. 후반의 16·17번은 극값을 교점 개수와 연결하고, 20번은 이동하는 구간의 최댓값을 새로운 함수로 다룹니다. 도함수의 부호표를 그린 뒤 어떤 높이에서 그래프의 성질이 바뀌는지 설명하는 연습이 필요합니다.

미분계수와도함수는 계산형과 조건형을 함께 준비해야 합니다. 4·13번은 차분몫을 미분계수로 바꾸는 과정이 중요하고, 7·14·15·19번은 연속성과 미분가능성을 따로 검사해야 합니다. 함수가 만나는 위치와 양쪽 기울기가 같아지는 조건을 한 줄로 뭉뚱그리지 마세요.

극한과 연속은 문항 수만 보고 기본형으로 한정해서는 안 됩니다. 12번은 연속성을 이용해 그래프의 가지를 고르고, 18번은 교점 개수의 불연속을 다룹니다. 21번은 좌우 부호의 변화와 다른 그래프의 교점을 연결하므로, 극한을 값 계산뿐 아니라 함수의 행동을 읽는 도구로 익혀야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확정된 난도 순위가 아니라 조건의 결합 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 새 함수가 어느 식을 따르는지 먼저 정해야 미분할 수 있습니다. 식을 나누는 기준과 경계에서 확인할 내용을 따로 적어 두면 경우 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본 접근이 보이는 문제를 정확히 처리하세요. 4번의 증가량이나 9번의 도형 관계에서 계산이 길어지면 출발식만 남기고 다음 문제를 확인하는 방법도 좋습니다. 11번 이후가 모두 자동 분류 기준 어려움이므로, 번호 순서대로 끝까지 풀겠다는 계획보다 접근 가능한 유형을 골라 재진입하는 연습이 필요합니다.

후반에서는 계산 전에 짧은 상황표를 만드세요. 16~18번은 교점 개수가 바뀌는 높이와 그 높이에서의 실제 개수를, 19번은 작은 값을 택하는 구간을, 20번은 최댓값의 후보를 적는 방식입니다. 막힌 이유가 식 전개인지 경우 분류인지 구별해 두어야 다시 볼 때 같은 계산을 반복하지 않습니다.

검토할 때는 조건의 적용 순서를 확인하세요. 6번은 구간 안의 임계점과 양 끝점, 7·14·15번은 연속성 확인 뒤의 양쪽 미분계수, 18번은 겹치는 교점의 중복 계산이 중요합니다. 21번은 근의 존재와 부호 변화가 같은 뜻인지, 22번은 절댓값을 풀 때 가정한 부호가 맞는지 되돌아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 대입과 좌우극한 읽기를 먼저 안정시키세요. 함수값과 한쪽 극한을 구별하고, 도형의 길이를 변수로 표현한 뒤 극한을 취해 보세요(1·2·9번 대비).
2. 미분 공식과 차분몫 변형을 연결하세요. 같은 함수값을 더하고 빼서 미분계수 정의를 만들고 증가량의 배율을 표시하세요(3·4·13번 대비).
3. 연속과 미분가능의 접합 조건을 순서대로 연습하세요. 절댓값의 영점과 구간 경계에서 좌우 값, 좌우 기울기를 따로 비교하세요(7·10·14·15번 대비).
4. 접선과 최대·최소의 기본형을 정리하세요. 접점의 좌표, 기울기 관계, 정의역과 끝점을 확인한 뒤 도형의 부피 함수로 확장하세요(5·6·8·11번 대비).
5. 교점 개수와 그래프 가지 선택을 스케치로 설명하세요. 접하는 높이와 가지가 겹치는 위치에서 경계의 개수를 다시 세어 보세요(12·16·17·18번 대비).
6. 새로 정의된 함수의 식을 구간별로 직접 구성하세요. 작은 값 선택, 이동 구간의 최댓값, 좌우 부호 변화, 절댓값 접선 조건을 각각 분류 기준부터 적으세요(19·20·21·22번 대비).