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무료 회원가입하고 깨끗한 PDF 받기대구여자고등학교의 2025년 2학년 1학기 중간고사 수학II 수학 기출문제입니다. 총 24문항이며 미분계수와도함수 9문항, 함수의극한 6문항, 함수의연속 5문항 순으로 출제되었습니다. 실제 시험지 미리보기와 단원·난이도별 구성을 아래에서 확인할 수 있고, 문제·해설 전체는 PDF·HWP·개인DB로 제공합니다.
대구여자고등학교 2025년 2학년 1학기 중간고사 수학II 시험 분석
2025년 대구여자고등학교 2학년 1학기 중간고사 수학II 시험은 함수의 극한부터 도함수의 활용까지 총 24문항이 출제되었습니다. 이번 시험에서는 미분계수와 도함수 단원이 9문항으로 가장 높은 비중을 차지했으며, 함수의 극한이 6문항, 함수의 연속이 5문항으로 그 뒤를 이었습니다. 도함수의 활용 단원은 4문항이 출제되어 상대적으로 비중이 낮았으나 전반적으로 여러 단원의 개념이 고르게 다루어졌습니다.
전체적인 난이도 분포는 보통 수준의 문항이 14개로 가장 많았고, 쉬운 문항과 어려운 문항이 각각 5개씩 출제되었습니다. 10점 만점을 기준으로 한 평균 난이도는 3.6점으로 평가되어, 기초적인 개념을 확인하는 문제부터 깊이 있는 사고를 요구하는 문제까지 균형 있게 구성되었습니다. 특히 함수의 극한에 대한 성질, 무한대 분의 무한대 꼴의 극한, 합성함수의 극한을 비롯해 가우스 기호를 포함한 함수의 연속성과 미분법의 공식 등 다양한 유형이 골고루 등장했습니다.
이 외에도 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 접선의 기울기나 함수의 극대·극소를 이용해 미정계수를 결정하는 문제, 미분의 항등식 활용 등이 주요 개념으로 출제되었습니다. 학생들은 함수가 연속일 조건이나 함수의 최대·최소 개념도 명확히 숙지하고 있어야 문제를 해결할 수 있었습니다. 이번 시험의 출제 경향을 고려할 때, 향후 학습 시에는 각 단원의 핵심 정의를 확실히 다지고 구간별로 정의된 함수나 미정계수 결정처럼 자주 출제되는 유형의 연산 과정을 꼼꼼히 연습하는 것이 필요합니다.
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📝 문항 목록
대구여자고등학교 2025년 2학년 1학기 중간고사 수학II 수학 기출 24문항의 문제입니다. 해설은 다운로드로 제공됩니다.
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함수 f(x) = {x² + x - 6, (x ≥ 1) ; √(-x + a) - 5, (x < 1)에서 극한값 lim(x → 1)f(x)가 존재할 때, 상수 a의 값은? ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4
- 2
lim(x → -2)(2x² + ax + b)/(x² - x - 6) = 1일 때, a + b의 값은? (단, a, b는 상수이다.) ① -1 ② 1 ③ 3 ④ 5 ⑤ 7
- 3
다항함수 f(x) = x³ + ax² + bx가 √(f(1) - 1) + |f′(1) - 1| = 0을 만족시킬 때, a² + b²의 값은?(단, a, b는 상수이다.) ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12
- 4
다항함수 f(x)에 대하여 lim(x → 1)(x³f(x) - 2f(x) + 4)/(x - 1) = 3일 때, f′(1)의 값은? ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10
- 5
x ≥ -1인 모든 실수 x에서 연속인 함수 f(x)가 (x - 3)f(x) = √(x + 1) - a를 만족시킬 때, a × f(3)의 값은? (단, a는 상수이다.) ① 1/6 ② 1/4 ③ 1/3 ④ 1/2 ⑤ 1
- 6
두 함수 f(x), g(x)가 lim(x → ∞)g(x) = ∞, lim(x → ∞){2f(x) - g(x)} = 3을 만족시킬 때, lim(x → ∞)(2f(x) + 4g(x))/(-4f(x) + 3g(x))의 값은? ① -6 ② -8/5 ③ -1/2 ④ 2/7 ⑤ 5
- 7
함수 y = f(x)의 그래프가 그림과 같다. lim(x → 3 +){f(x) + f(-x)} = a, lim(x → 0)|f(x + 2)| = b일 때, a + b의 값은? (단, a, b는 상수이다.) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4
- 8
두 함수 f(x) = {1/(x - 3), (x ≤ 2) ; 1/(x - 2), (x > 2), g(x) = x³ + ax² + bx + 12에 대해 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, g(1)의 값은? (단, a, b는 상수이다.) ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10
- 9
두 함수 f(x) = [x - 1], g(x) = { x, (x > 1) ; x - 1, (0 ≤ x ≤ 1) ; -x, (x < 0)에 대한 <보기>중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [x]는 x를 넘지 않는 최대 정수이다.) <보 기> ㄱ. lim(x → 1)f(x)g(x) = 0 ㄴ. 함수 f(x) + g(x)는 x = 0에서 연속이다. ㄷ. lim(x → 1 -)f(g(x)) + 2 = lim(x → 1 +)f(g(x)) ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
- 10
삼차함수 f(x) = x³ - x에 대하여 함수 g(x)를 다음과 같이 정의한다. g(x) = {f(x), (x ≥ 2) ; f(x - a) + b, (x < 2)함수 g(x)가 모든 실수 x에서 미분가능할 때, a + b의 값은? (단, a, b는 ab ≠ 0인 상수이다.) ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20
- 11
최고차항의 계수가 양수인 이차함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) y = f(x)위의 점 (-1, 0)에서의 접선이 x축이다. (나) 모든 실수 x에 대하여 f′(x) ≤ 3x² + 9이다. f(2)의 최댓값은? ① 18 ② 21 ③ 24 ④ 27 ⑤ 30
- 12
상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 f(x), g(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, 닫힌구간 [0,3]에서 f(x)의 최솟값은? (가) lim(x → ∞)(f(x)g(x) + 2x³)/(x³ - 3) = 5 (나) lim(x → 2)f(x)g(x)/((x - 2)²) = 3 (다) f(0) = 6 ① -3 ② -3/4 ③ 0 ④ 3/4 ⑤ 3
- 13
함수 f(x) = 1/2 x²에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g(x)를 g(x) = {f(x), (f(x) ≤ x) ; x, (f(x) > x)라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. g(-1) = -1 ㄴ. 어떤 실수 x에 대하여 g(x) < x이다. ㄷ. 실수 전체의 집합에서 함수 g(x)가 미분가능하지 않은 점의 개수는 2이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
- 14
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 모든 정수 k에 대하여 8k ≤ f(k + 2) - f(k) ≤ 8k²을 만족시킬 때, f′(2)의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7
- 15
최고차항의 계수가 1이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 f(x)에 대하여 f(1)의 최댓값은? (가) lim(x → 1)(|f(x - 1) - 1|)/(x - 1)의 값이 존재한다. (나) 모든 실수 x에 대하여 xf(x) ≥ -x² + x이다. ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
- 16
두 함수 f(x) = -x² + 2x + k, g(x) = x³ - 3x + 2에 대하여 함수 (g∘f)(x)의 최댓값이 4가 되도록 하는 실수 k의 최댓값을 a, 최솟값을 b라 할 때, a + b의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2
- 17
최고차항의 계수가 양수인 이차함수 f(x)에 대하여 함수 g(x) = {x³ + ax² + 12x + 6, (x ≥ 0) ; f(x), (x < 0)이 다음 조건을 만족시킨다. (단, a는 상수이고 a ≠ -6이다.) (가) 함수 g(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) x에 대한 방정식 g′(x) × g′(x - 3) = 0의 서로 다른 실근의 개수는 4이다. g′(-1) × g′(2)의 값은? ① -36 ② -30 ③ -24 ④ -18 ⑤ -12
- 18
최고차항의 계수가 1이고, f(4) = 2인 삼차함수 f(x)에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 x에 대하여 |x - 1|g(x) = (x - 1)|f(x) - 2|이다. (나) 함수 g(x)는 모든 실수에서 연속이고, x = 4에서만 미분가능하지 않다.실수 t에 대하여 함수 y = g(x)의 그래프와 직선 y = t가 만나는 점의 개수를 h(t)라 하자. h(-1) + h(4)의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
- 19
다항함수 f(x)가 lim(x → ∞)f(x)/(2x² - 5x + 2) = -1, lim(x → 2)f(x)/(x - 2) = -10을 만족시킬 때, f(x)를 구하고 과정을 서술하시오.
- 20
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) = 1/3 x³ - ax² + 4ax + 1의 역함수가 존재하도록 하는 모든 정수 a의 값의 합을 구하고, 과정을 서술하시오.
- 21
연속함수 y = f(x)의 그래프가 점 (-2, 3), (-1, - 1), (0, 2), (1, 0), (2, - 5)를 지날 때, 방정식 f(x) = -x는 열린구간 (-2, 2)에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 구하고 과정을 서술하시오.
- 22
f(x) = 2ax³ + 3ax² + b(a < 0)의 극댓값이 7, 극솟값이 5일 때, 닫힌구간 [-1,1]에서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값을 구하고 과정을 서술하시오. (단, a, b는 상수이다.)
- 23
함수 f(x)의 도함수 f′(x)가 연속함수이고, 모든 실수 x에 대하여 (x - 1)f′(x) = x² - 1 - f(x)를 만족시킬 때, f′(1)의 값을 구하고 과정을 서술하시오.
- 24
함수 f(x) = { 1/2 x, (x ≥ a) ; -1/(x - 3) + 1, (x < a)에 대하여 {f(x)}²이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 a의 값을 구하고 과정을 서술하시오.
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📊 시험 구성
총 24문항 · 출제 단원 4개 · 평균 난이도 3.6/10
| 출제 단원 | 문항수 |
|---|---|
| 미분계수와도함수 | 9 |
| 함수의극한 | 6 |
| 함수의연속 | 5 |
| 도함수의활용 | 4 |
🧩 출제 개념·유형
대구여자고등학교 2025년 2학년 1학기 중간고사 수학II 시험지에서 다루는 주요 개념·문제 유형입니다.