영동일고등학교
2026년 2학년 1학기 중간고사

영동일고 2학년 1학기 중간 기하는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 이차곡선과 공간도형입니다. 포물선·타원·쌍곡선의 방정식과 정의, 접선 및 점근선에서 시작해 공간의 위치 관계, 삼수선의 정리와 정사영으로 이어집니다.

초반에는 표준형으로 고쳐 초점을 찾거나 접선 공식을 적용하는 기본형이 있습니다. 이후 곡선 위의 점이 만드는 삼각형, 초점까지의 거리, 공간에서의 수선과 넓이를 연결합니다. 공식을 알고 있어도 어느 길이가 거리의 합이나 차에 해당하는지 판단하는 단계가 필요합니다.

서술·단답형도 한 가지 수준으로 묶이지 않습니다. 정의와 완전제곱을 확인하는 18·19번에서 공간 삼각형의 넓이를 다루는 20번, 정사영과 접선 조건을 연결하는 21·23번으로 확장됩니다. 풀이를 시작할 때 쓸 정의나 정리를 한 문장으로 설명하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·4·7·18·19번입니다. 이차곡선의 표준형과 접선, 직각삼각형의 길이 관계, 거리 차의 불변성을 확인하는 문항입니다. 객관식 초반뿐 아니라 서술·단답형 시작 부분에도 있으므로 번호 순서만으로 부담을 판단하지 마세요.

보통 문항은 시험 전반에 걸쳐 있으며 16·20·22번에서도 이어집니다. 접선에서 삼각형의 넓이로 이동하거나, 타원의 조건을 거리의 최댓값으로 바꾸는 식의 개념 연결이 필요합니다. 첫 계산이 가능하더라도 사분면과 길이의 양수 조건을 끝까지 확인해야 합니다.

어려움은 14·15·17번과 21·23번입니다. 접점의 대칭성, 공간에서 거리의 분해, 여러 도형의 정의를 함께 써야 하는 점이 부담입니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도를 확정하는 지표는 아닙니다. 연습에서는 계산보다 조건을 해석하는 데 시간이 걸리는 문항을 따로 표시하세요.

출제 단원 — 이차곡선의 정의와 공간의 수직 관계

이차곡선은 방정식을 읽는 기초와 정의를 활용하는 응용이 함께 출제됩니다. 1·19번은 완전제곱과 평행이동, 4·5·8·10번은 접선과 점근선의 관계를 다룹니다. 12·13·17·18번에서는 좌표를 모두 구하기보다 초점까지의 거리 관계를 먼저 쓰는 것이 유리합니다.

공간도형은 위치 관계를 판단하는 3·6번에서 수직과 길이를 연결하는 7·20번, 정사영을 사용하는 15·21번으로 이어집니다. 그림에서 수직처럼 보이는 것을 근거로 삼지 말고, 평면에 대한 수직이나 이등변삼각형의 성질로 수선임을 확인해야 합니다.

학습 비중은 이차곡선에 더 두되 공간도형을 단순 암기 단원으로 다루지 마세요. 이차곡선의 거리 정의와 공간도형의 수선 설정은 모두 복잡한 그림을 계산 가능한 삼각형으로 바꾸는 도구입니다. 도형에 길이 관계를 적은 뒤 방정식을 세우는 순서를 공통으로 적용할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 구성 확인

작년 자료는 수학I이고 올해는 기하이므로 같은 과목의 난도 변화로 읽을 수 없습니다. 두 자료에 공통으로 분류된 단원이 없어 단원별 비중의 증감을 직접 비교하기도 어렵습니다. 표는 각 시험의 문항 구성과 자동 분류 결과를 확인하는 용도입니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 11문항에서 올해 5문항으로 줄고, 보통은 5문항에서 12문항으로 늘었습니다. 작년 어려움은 13~19번과 21~24번에 있었고 올해는 14·15·17·21·23번입니다. 다만 과목과 요구 개념이 달라 이 숫자만으로 올해가 더 쉬웠다고 단정해서는 안 됩니다.

작년에는 로그함수가 가장 많았지만 올해는 이차곡선이 중심입니다. 다음 시험 준비에서는 작년의 풀이 방식을 그대로 옮기기보다 현재 범위의 거리 정의, 접선 조건, 정사영을 우선 복습하세요. 후반 문항을 대비할 때도 기본형에서 도형 조건을 하나씩 추가하는 방식으로 확장하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 결과와 풀이의 연결 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적인 부담은 한 조건에서 얻은 길이·넓이를 다음 도형의 조건으로 옮기는 데 있습니다. 막히는 단계에서는 새 계산을 늘리기보다 현재 구한 양이 그림에서 무엇을 뜻하는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 표준형과 기본 정리로 바로 시작할 수 있는 문항을 확보하세요. 14·15·17번에서 보조선이나 식의 출발점이 보이지 않으면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 18·19번도 자동 분류 기준 쉬움이므로 서술·단답형이라는 이유로 마지막까지 미루지 않는 것이 좋습니다.

접선은 접점이 주어진 경우와 기울기가 주어진 경우를 구별하세요. 11번은 식을 제곱하기 전의 부호, 12·18번은 쌍곡선 거리 차의 절댓값이 중요합니다. 19번에서는 타원으로 남기 위한 엄격한 부등호를, 22번에서는 사분면이 제한하는 좌표의 범위를 확인하세요.

공간도형은 수선의 발과 수직이 성립하는 근거를 적어 두면 검토가 빨라집니다. 15번에서는 공간의 거리와 정사영 뒤의 거리를, 21번에서는 실제 넓이와 정사영 넓이를 구별하세요. 마지막에는 긴 계산을 반복하기보다 길이의 양수 조건, 밑변에 대응하는 높이, 점과 직선의 역할을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 완전제곱과 표준형을 복습하세요. 초점의 이동과 도형이 퇴화하는 경계 조건을 말로 설명해 보세요(1·2·19번 대비).
2. 접선 공식을 조건별로 구분하세요. 접점·기울기에서 출발해 절편과 초점 거리까지 연결해 보세요(4·5·8·10번 대비).
3. 타원과 쌍곡선의 거리 정의를 그림에 적는 연습을 하세요. 합과 차의 순서, 선분 위 점의 위치를 확인하세요(12·13·17·18번 대비).
4. 공간의 위치 관계와 수직의 근거를 정리하세요. 반례를 그리는 연습과 직각삼각형을 찾아 길이를 구하는 연습을 묶으세요(3·6·7·9·20번 대비).
5. 넓이 조건을 정사영된 거리와 넓이로 바꾸어 보세요. 원래 도형과 정사영 도형을 나란히 그려 대응점을 표시하세요(15·21번 대비).
6. 복합 조건을 단계별로 연결하세요. 사분면을 점검하는 최댓값 문제와 접선에서 다른 교점으로 이어지는 문제를 마무리하세요(11·14·16·22·23번 대비).