언남고등학교
2026년 2학년 1학기 중간고사

언남고 2학년 1학기 중간 기하는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 기하 시험은 이차곡선과 공간도형을 범위로 하며, 평면의 곡선 방정식을 다루는 능력과 공간에서 수직·평행 관계를 읽는 능력을 함께 요구합니다.

이차곡선에서는 표준형을 알아보는 데서 출발해 접선과 다른 도형의 관계를 해석하는 단계로 이어집니다. 공간도형에서는 그림에 보이는 모양보다 수직을 보장하는 근거를 찾는 것이 중요합니다. 두 단원 모두 공식을 적용할 조건을 먼저 확인해야 합니다.

자동 분류 기준으로 보통 문항이 중심이지만, 풀이에 필요한 개념이 하나씩만 등장하는 시험은 아닙니다. 7번의 넓이 이등분 조건, 17번의 두 접선의 수직 조건처럼 서로 다른 성질을 연결해야 합니다. 기본 공식을 외운 뒤 조건을 식으로 바꾸는 연습까지 해야 대비할 수 있습니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 후반에 어려움 집중

쉬움 구간에서는 포물선의 방정식과 접선, 이차식이 나타내는 도형, 모서리의 위치 관계를 확인합니다. 다만 2번은 보통으로 분류돼 있어 앞부분을 모두 단순 계산으로 예상하면 안 됩니다. 완전제곱과 평행이동의 부호를 정확히 처리해야 합니다.

보통 문항은 중간 구간에 넓게 이어집니다. 특히 12·13·15·17번은 접선 조건을 다른 정보와 결합하므로 공식 선택 뒤의 연결 과정이 중요합니다. 마지막 22·23번도 보통이므로, 19~21번에서 멈추더라도 뒤 문항을 살펴볼 여지를 남기세요.

어려움으로 분류된 후반 문항은 계산량만으로 설명하기 어렵습니다. 19번은 포물선의 정의와 원의 각 관계, 20번은 타원의 대칭과 초점 거리, 21번은 공간의 수직 관계와 정사영을 이어야 합니다. 난이도 표는 자동 분류 기준이며 개인의 익숙한 유형에 따라 체감은 달라집니다.

출제 단원 — 이차곡선의 비중과 공간도형의 연결

이차곡선이 가장 많이 나왔습니다. 포물선·타원·쌍곡선의 표준형을 구별한 뒤 중심과 초점, 접선의 정보를 읽는 연습이 우선입니다. 접점이 주어진 경우와 곡선 밖의 점에서 접선을 긋는 경우는 출발하는 식이 다르므로 구분해서 정리하세요.

공간도형은 문항 수가 적더라도 가볍게 넘기기 어렵습니다. 6·9번에서 삼수선의 정리를 다루고, 10번에서 정사영 넓이와 각의 관계를 확인한 뒤 21번에서 여러 성질을 함께 사용합니다. 개별 공식을 외우기보다 수선의 발을 표시한 보조 그림을 그리는 연습이 효과적입니다.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 문항마다 출발할 개념과 조건 확인 지점을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 먼저 확인

작년 같은 학교·학년·학기 중간고사는 수학Ⅰ이고, 올해 자료는 기하입니다. 과목이 다르므로 동일 범위의 출제 변화로 해석할 수 없습니다. 단원명도 겹치지 않아 단원별 증감을 직접 비교하지 않고, 구성과 자동 분류 기준의 분포만 참고하겠습니다.

총 문항 수와 어려움 문항 수는 같고, 쉬움은 줄고 보통은 늘었습니다. 서술·단답형은 작년 19~23번에서 올해 자료상 22번으로 줄었습니다. 작년 어려움은 15·18·23번에 흩어졌지만 올해는 19~21번에 모여 있어, 후반에 시간을 남기는 운영이 필요합니다.

작년은 로그와 지수가 가장 많은 단원이었고 올해는 이차곡선에 비중이 실렸습니다. 이를 학교의 고정된 출제 성향으로 일반화하기보다는 이번 범위의 접선·초점·수직 관계를 기준으로 준비하세요. 작년의 내용보다 올해 문항에서 필요한 개념 연결을 직접 연습하는 것이 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

자동 분류 기준 어려움에 해당하는 이 문항들은 도형의 성질을 식보다 먼저 읽어야 한다는 공통점이 있습니다. 이용자 투표로 확정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항이며, 풀이를 복습할 때는 계산 결과보다 처음 선택한 보조선과 거리 관계를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 표준형과 기본 관계로 풀 수 있는 문항을 처리하고, 중간 구간에서는 접선 조건을 세울 수 있는지 빠르게 판단하세요. 19~21번에 도달하기 전에 남은 문항을 확인하고, 접근이 떠오르지 않으면 표시해 둔 뒤 22·23번을 살펴보세요. 전체 시험 시간 정보가 없으므로 연습할 때 자신의 풀이 시간을 기록해 배분을 조정하는 편이 좋습니다.

이차곡선에서는 중심과 초점의 구별, 주축의 방향, 매개변수의 양수 조건을 확인하세요. 12번은 기울기의 부호와 절편으로 만든 넓이의 부호를 구분하고, 17번은 교점이 놓인 사분면 조건을 유지해야 합니다. 22번은 점근선만 보고 주축 방향을 확정하지 말고 지나는 점까지 대입해야 합니다.

공간도형에서는 그림상 수직처럼 보이는 선분에 바로 직각 표시를 하지 마세요. 8번은 명제가 성립하는 가정과 반례를 확인하고, 10·21번은 어느 도형을 어느 평면에 투영하는지 먼저 적으세요. 검산할 때는 긴 계산을 반복하기보다 수직의 근거, 거리의 양수 조건, 누락된 접선 가능성을 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 표준형과 도형 판별부터 정리하세요. 초점·준선, 중심 이동, 제곱항의 부호를 보고 도형을 설명하는 연습을 하세요(1·2·5·14번 대비).
2. 접점이 주어진 접선과 기울기로 나타낸 접선을 구분하세요. 서로 다른 곡선의 조건을 연결할 때는 같은 직선이라는 점을 식에 반영하세요(3·7·12·13·17번 대비).
3. 쌍곡선의 점근선과 초점 관계를 묶어 연습하세요. 서술 답안에서는 중심, 주축 방향, 초점 이동을 순서대로 적으세요(15·22번 대비).
4. 공간의 평행·수직 명제는 직접 반례를 그려 확인하세요. 삼수선의 정리로 확보한 직각을 이용해 길이와 거리를 구하세요(4·6·8·9·16번 대비).
5. 이차곡선의 정의로 거리를 묶는 연습을 하세요. 거리의 합·차와 대칭을 먼저 찾고 좌표 계산은 필요한 길이에만 사용하세요(11·18·19·20번 대비).
6. 정사영 문제는 원래 넓이, 투영한 넓이, 두 평면 사이의 각을 표시한 뒤 관계를 세우세요. 마지막으로 외부점에서 가능한 접선을 빠짐없이 확인하는 복습까지 진행하세요(10·21·23번 대비).