세화여자고등학교
2024년 2학년 1학기 중간고사

세화여고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

세화여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 지수와 로그, 지수함수와 로그함수 및 그 활용, 삼각함수와 삼각함수 그래프입니다. 지수법칙이나 로그의 성질을 적용하는 계산부터 함수와 도형을 함께 해석하는 문제까지 이어집니다.

초반에는 밑 변환, 각의 변환, 지수식의 대칭적인 합과 차를 다룹니다. 이후에는 이동한 지수·로그 그래프의 대칭 관계, 넓이 조건, 마름모와 삼각형의 길이 관계가 등장합니다. 식에 좌표를 바로 대입하기보다 대칭축이나 대칭의 중심을 먼저 찾으면 미지수 사이의 관계를 간결하게 정리할 수 있습니다.

삼각함수 그래프에서는 주기만 읽고 끝나지 않습니다. 점근선에서 정해지는 좌표의 반복, 합성함수의 실근 개수, 수평선과 만나는 점의 변화까지 해석해야 합니다. 서술·단답형에서도 최솟값의 존재와 정수해의 개수처럼 경계 조건을 정확히 구별하는 능력이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1·3·4번입니다. 밑 변환과 삼각함수의 기본 성질을 정확히 적용하면 접근할 수 있습니다. 다만 4번의 감소 상황에서는 로그를 취한 뒤 음수로 나누는 과정이 있으므로 부등호 방향과 처음 조건을 만족하는 시점을 함께 점검해야 합니다.

보통 문항은 2·5·6·7·16·17번입니다. 자연수 조건, 부호 결정, 판별식, 거듭제곱근의 홀짝 구분처럼 계산에 앞서 적용할 기준이 있습니다. 특히 7번은 모든 실수에 대한 이차부등식을 판별식 조건으로 바꾼 뒤 삼각함수 그래프로 범위를 읽는 연결이 필요합니다.

8~15번은 모두 자동 분류 기준 어려움에 해당하고, 서술·단답형에서는 18~20번이 같은 분류입니다. 대칭과 교점 개수를 다루는 객관식 후반에 풀이 부담이 집중됩니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 그대로 뜻하는 것은 아니며, 개인적으로 익숙한 그래프 유형부터 해결하는 전략이 유효합니다.

출제 단원 — 삼각함수 그래프와 지수·로그의 도형 해석

가장 많이 나온 삼각함수그래프는 7·9·11·15번입니다. 판별식으로 얻은 삼각부등식, 탄젠트 점근선과 코사인값의 반복, 합성함수의 실근 개수, 함숫값의 대소를 결합한 그래프 해석으로 내용이 나뉩니다. 같은 단원 안에서도 주기와 끝점, 최댓값 부근의 교점을 따로 연습해야 합니다.

로그함수의 8·14·19번과 지수로그함수활용의 10·13·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 이 가운데 8·10·13·20번에서는 지수·로그 관계를 좌표의 대응이나 이동으로 해석하는 것이 중요합니다. 14번은 점근선과 절편, 19번은 정의역과 부등호 방향을 확인해야 하므로 로그 계산만 반복하는 준비로는 부족합니다.

지수와 로그의 기본 성질은 후반 문제를 풀기 위한 바탕입니다. 2·17번에서 정수나 거듭제곱근의 조건을 구분하고, 5·6번에서 합과 차 또는 공통 밑으로 식을 정리하는 방법을 익히세요. 지수함수의 12·18번에서는 각각 도형의 대칭과 치환 후 정의역이 풀이 방향을 결정합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 대칭이나 교점 조건을 먼저 해석한 뒤 대수식으로 옮겨야 합니다. 도형 스케치 옆에 좌표 대응과 허용 범위를 적고 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 개념과 조건 변환을 정확히 처리하고, 객관식 후반에서 접근이 보이지 않으면 표시해 두세요. 8~15번에 어려움 문항이 이어지므로 앞 번호를 모두 끝내야 다음 형식을 풀겠다는 운영은 부담이 될 수 있습니다. 16·17번의 기본 관계와 홀짝 분류도 일찍 확인해 풀이 가능한 문항을 확보하세요.

검토할 때에는 부호와 정의역을 우선하세요. 5·16번은 제곱한 식에서 원래 식으로 돌아갈 때 부호를 정해야 하고, 17번은 근의 차수와 근호 안의 수의 부호를 함께 봐야 합니다. 18번은 치환한 변수의 경계가 포함되지 않으므로 꼭짓점의 위치만 기계적으로 대입하면 최솟값의 존재 여부를 잘못 판단할 수 있습니다.

개수 문제는 따로 표시해 다시 살펴보세요. 9번은 반복되는 같은 좌표를 중복해서 계산하지 않아야 하고, 11·15번은 구간 끝점의 포함 여부가 교점 수에 영향을 줍니다. 19번은 정수해의 개수가 바뀌는 경계에서 등호를 구별하고, 20번은 치환한 근이 원래 조건에 맞는 점을 만드는지 확인하세요. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 연습에서 막히는 단계를 기록하는 방식이 적절합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 밑 변환과 로그의 성질을 복습하고, 감소 상황에서 부등호가 바뀌는 이유를 설명해 보세요. 계산을 마친 뒤 처음 조건을 만족하는 시점도 점검하세요(1·4·6번 대비).
2. 지수식의 합과 차, 거듭제곱근의 조건을 정리하세요. 정수의 부호와 근의 차수의 홀짝을 먼저 나누는 습관을 들이세요(2·5·17번 대비).
3. 각의 변환과 삼각함수 사이의 관계를 복습하세요. 제곱한 값에서 원래 식으로 돌아갈 때 주어진 각의 범위로 부호를 결정하세요(3·16번 대비).
4. 삼각함수 그래프에 주기와 점근선, 구간 끝점을 표시하세요. 수평선의 높이를 바꾸며 교점 개수가 달라지는 지점을 설명해 보세요(7·9·11·15번 대비).
5. 지수·로그 그래프를 이동하고 대칭점을 좌표로 나타내세요. 넓이와 변의 길이 조건을 그래프의 대응 관계에 연결해 보세요(8·10·12·13·14번 대비).
6. 최솟값의 존재, 정수해의 개수, 점의 유일성을 구별해 연습하세요. 치환한 변수의 범위와 경계 포함 여부를 기록하고 원래 조건으로 되돌아가 검토하세요(18·19·20번 대비).