대원고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

대원고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

대원고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 삼각함수그래프입니다. 지수와 로그의 계산뿐 아니라 함수의 최대·최소와 삼각함수 그래프의 해석까지 준비해야 합니다.

초반에는 밑의 변환, 근호의 지수 표현, 상용로그, 일반각, 부채꼴처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 배치되어 있습니다. 이후에는 실생활의 반복 감소를 부등식으로 옮기거나, 동경의 대칭을 일반각으로 나타내는 등 문장을 식으로 바꾸는 과정이 중요해집니다.

후반의 그래프 문제는 모든 교점의 좌표를 직접 구하려 하면 풀이가 길어질 수 있습니다. 평행이동으로 겹치는 영역을 찾거나 대칭으로 관찰 범위를 줄이는 전략이 필요합니다. 서술·단답형에서도 후보를 얻는 계산과 원래 조건을 확인하는 단계를 함께 연습하세요.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 그래프에 집중

쉬움 문항은 초반에 많지만 8·13번에도 있습니다. 7번의 상황 해석이나 10번의 조건 변환에서 막히더라도 뒤에 있는 기본형을 확인하는 편이 좋습니다. 쉬움으로 분류된 13번도 로그를 합치기 전에 각각의 진수 조건을 써야 하므로 개념 점검은 필요합니다.

보통 구간에서는 계산 공식을 아는 데서 한 단계 더 나아갑니다. 9번은 역수 관계를 이용한 식의 변형, 12번은 범위와 정수 조건의 결합, 14·15번은 그림이나 동경의 관계를 식으로 옮기는 능력을 요구합니다. 19·20번은 자동 분류 기준 보통이므로 서술·단답형이라는 이유만으로 뒤로 미루지 마세요.

어려움 문항 가운데 10번은 로그 조건을 이용한 최솟값 문제이고, 16~18번은 그래프의 이동이나 대칭을 활용합니다. 자동 분류 기준은 실제 응시자의 체감 난도와 다를 수 있습니다. 다만 후반에서는 긴 계산보다 어떤 관계를 먼저 찾아야 하는지가 풀이 시간을 좌우할 수 있습니다.

출제 단원 — 로그의 조건 처리와 삼각함수 그래프

로그는 밑의 변환과 상용로그의 기본 계산에서 실생활 활용, 최솟값, 정수 조건까지 폭넓게 출제되었습니다. 1·3번을 빠르게 풀 수 있더라도 10·12번의 조건 처리가 저절로 해결되지는 않습니다. 로그식을 단순화한 뒤 가능한 범위를 좁히고 제외 조건을 적용하는 연습을 덧붙이세요.

삼각함수는 일반각과 부채꼴에서 동경의 대칭, 근과 계수의 관계로 확장됩니다. 삼각함수그래프는 방정식의 근을 읽는 8번에서 도형의 넓이를 구하는 14번, 교점을 해석하는 17·18번으로 이어집니다. 주기를 구하는 연습과 그래프에서 조건을 읽는 연습을 연결하는 것이 좋습니다.

지수함수는 단조성, 밑의 조건, 지수식을 치환한 최솟값을 다룹니다. 로그함수는 출제 수만 보고 학습 순서를 뒤로 미루기 어렵습니다. 13번의 진수 범위와 이차식의 최대를 정리한 뒤 16번의 평행이동과 넓이로 확장하면 기본형과 응용형 사이의 연결을 확인할 수 있습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 문항 구성과 대비 방향

같은 2022학년도 2학년 1학기 중간고사 수학I을 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 대원고는 총 20문항과 서술·단답형 3문항으로 지역 평균인 22.5문항과 5.3문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 20%로 지역 평균 27%보다 낮으며, 어려움 비율 순위는 11개교 중 10위입니다.

가장 많은 단원은 학교별로 로그함수, 지수, 삼각함수, 지수함수 등으로 나뉩니다. 대원고는 로그가 중심이지만 후반의 어려움 문항에는 로그함수와 삼각함수그래프가 포함됩니다. 전체 문항 수와 어려움 비율만으로 풀이 부담을 판단하기보다, 로그의 조건 처리와 그래프의 이동·대칭을 함께 준비하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 그래프의 관계를 먼저 파악하면 계산 범위가 줄어듭니다. 식을 전개하기 전에 이동 방향, 대칭축이나 대칭점, 관찰할 구간을 짧게 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 단조성처럼 접근이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 10번에서 최솟값 조건 정리가 길어지면 표시하고 뒤 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 16·17번에 들어가기 전 서술·단답형까지 훑어 19·20번의 익숙한 치환과 근과 계수 유형을 놓치지 마세요.

서술·단답형에 쓸 시간은 계산뿐 아니라 조건 정리에 남겨 두어야 합니다. 18번은 교점 사이의 대칭과 각의 범위, 19번은 치환 변수의 양수 조건, 20번은 매개변수의 부호를 풀이 첫머리에 적으세요. 마지막 식만 적기보다 후보를 제외한 이유가 드러나도록 정리하는 연습이 필요합니다.

최종 검토에서는 7번의 차단량과 잔여량, 8번의 각 범위 변환, 10번의 제외 조건과 등호 성립 여부를 다시 보세요. 13번은 로그를 합친 뒤에도 원래 진수 조건을 유지해야 합니다. 15번은 일반각의 회전수, 17번은 대칭 중심의 교점 중복 여부를 확인하면 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 근호를 지수로 통일하고 로그의 밑을 바꾸는 기본 계산을 정리하세요. 필요한 성질을 먼저 고른 뒤 부호와 계수를 검산하세요(1·2·3·9번 대비).
2. 반복 감소와 정수 조건을 부등식으로 표현하세요. 남는 비율을 정하고 열린 구간에서 가능한 정수를 확인하는 과정을 연습하세요(7·12번 대비).
3. 함수의 최대·최소는 정의역과 단조성부터 확인하세요. 지수 치환으로 이차함수를 만들 때는 치환 변수의 범위를 함께 쓰세요(4·11·13·19번 대비).
4. 로그 조건으로 가능한 관계를 나누고 제외 조건을 적용하세요. 최솟값을 얻은 뒤 등호 조건의 실현 가능성까지 확인하세요(10번 대비).
5. 일반각과 호도법을 복습한 뒤 동경의 대칭을 식으로 표현하세요. 근과 계수의 관계를 삼각함수의 기본 관계와 연결하는 연습도 하세요(5·6·15·20번 대비).
6. 그래프의 주기와 좌표 읽기에서 시작해 평행이동, 교점 개수, 대칭을 이용한 삼각식으로 확장하세요. 매번 관찰 구간을 표시해 보세요(8·14·16·17·18번 대비).