중산고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

중산고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 삼각함수그래프입니다. 기본 연산부터 함수의 조건을 그래프로 해석하는 문제까지 이어집니다.

초반에는 음의 정수 지수, 로그의 밑 변환, 삼각함수 사이의 관계와 부채꼴을 확인합니다. 이어 거듭제곱근의 정수 조건, 지수함수의 증감과 넓이 비교, 삼각방정식 등으로 확장됩니다. 공식을 기억하는 것과 그 공식을 적용할 조건을 확인하는 일을 함께 해야 합니다.

후반에서는 구간별 함수의 치역, 주기 안의 근 개수, 역함수와 대칭 관계가 중요합니다. 식의 계산을 시작하기 전에 정의역과 치역, 치환한 변수의 범위를 적어 두세요. 특히 삼각함수에서는 치환 뒤 얻은 값의 개수와 원래 각의 개수가 다를 수 있다는 점이 시험 전반의 중요한 점검 사항입니다.

난이도 분포 — 후반에 집중된 그래프와 개수 판단

쉬움 문항은 기본 계산과 대표 성질을 확인하는 구간입니다. 다만 6번은 주기와 최댓값·최솟값을 구별해야 하고, 9번은 로그를 치환한 뒤 진수 조건과 정수 범위를 확인해야 합니다. 자동 분류 기준 쉬움이라는 이유로 조건 확인을 생략하지 마세요.

보통 문항에서는 식을 적절한 형태로 바꾸는 능력이 필요합니다. 5·7번은 거듭제곱근을 지수로, 8번은 집합의 조건을 삼각방정식으로 옮깁니다. 15·19번은 서술·단답형이지만 기본적인 치역과 치환의 원리를 적용할 수 있으므로 후반이라는 이유로 미루지 않는 편이 좋습니다.

11~14번에서 어려움 문항이 이어지고 16~18번과 20번에서도 조건 연결이 필요합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 풀이를 마친 뒤 경계값과 제외 조건을 검토하는 시간을 남기는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 삼각함수그래프와 로그함수의 조건 해석

삼각함수그래프는 주기와 최대·최소의 기본형에서 시작해 좌표 조건, 최댓값을 갖는 위치의 개수, 치환 뒤의 실근 개수, 절댓값 그래프의 교점으로 확장됩니다. 같은 주기 문제라도 전체 주기를 세는 단계와 남는 구간을 확인하는 단계를 구분해서 연습해야 합니다.

로그함수에서는 부등식뿐 아니라 단조성과 역함수의 활용이 두드러집니다. 14번은 실근의 위치 조건을 매개변수의 범위로 바꾸고, 15번은 구간별 함수의 치역을 맞추며, 17번은 역함수의 대칭을 좌표와 도형 관계로 연결합니다. 로그 계산 연습만으로 끝내기 어려운 구성입니다.

지수와 로그의 기본 연산도 후반 풀이의 바탕입니다. 5·7번의 정수 조건은 유리수 지수와 소인수 구조로 정리하고, 10·11·19번은 밑에 따른 증감과 함숫값의 범위를 확인하세요. 단원별 공식을 외운 뒤에는 조건을 그림이나 부등식으로 바꾸는 연습으로 이어 가는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 값의 계산보다 개수와 경계의 판단에 있습니다. 구간을 그린 뒤 끝점을 따로 검사하는 습관을 들이면, 중간 계산은 맞았는데 마지막 범위를 잘못 적는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본 구조가 보이는 문항을 확보하고, 11~14번에서 조건 정리가 길어지면 표시해 두세요. 이어 15·19번처럼 접근법이 비교적 분명한 서술·단답형도 확인하는 편이 좋습니다. 문항 번호가 커질수록 반드시 더 어렵다고 가정하지 말고, 20번까지 전체 구성을 먼저 훑어 보세요.

서술·단답형은 계산 전에 출발 조건을 짧게 적는 연습이 필요합니다. 15번에서는 구간별 치역과 일대일대응, 16번에서는 치환 범위와 각의 개수, 17번에서는 대칭에 따른 좌표 관계를 먼저 정리하세요. 풀이가 막히면 계산을 반복하기보다 어떤 조건을 아직 사용하지 않았는지 점검하는 것이 도움이 됩니다.

마지막 검토에서는 9·14번의 열린 구간, 11·15번의 구간 경계와 치역, 16·18번의 끝점에 주목하세요. 19번에서는 치환한 지수값의 양수 조건과 원래 근의 부호를 구별해야 합니다. 20번처럼 여러 조건이 결합된 문항은 각 조건에서 얻은 관계를 따로 기록해 두면 서로 다른 단계의 결론을 혼동하는 일을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 음의 지수와 로그의 밑 변환을 먼저 복습하세요. 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾸고 정수 조건을 소인수별 지수로 설명하는 연습을 이어 가세요(1·2·5·7번 대비).
2. 삼각함수의 기본 관계와 호도법을 정리하세요. 합의 제곱에서 곱을 얻는 구조와 호의 길이·넓이의 관계를 구별해 적용하세요(3·4번 대비).
3. 함수의 증감과 치역을 구간별로 그려 보세요. 로그부등식의 진수 조건부터 구간별 함수의 치역, 역함수의 대응 관계로 확장하세요(9·10·11·15·19번 대비).
4. 삼각함수의 주기와 최댓값 위치를 함께 표시하세요. 각을 치환하면 구간도 바뀐다는 점을 확인하고, 중점·기울기 조건을 좌표 관계로 옮겨 보세요(6·8·12·13번 대비).
5. 근과 교점의 개수는 끝점 검사를 별도 단계로 두세요. 정수 끝점 여부, 치환 범위의 내부와 경계, 온전한 주기와 남는 구간을 차례로 확인하세요(14·16·18번 대비).
6. 역함수의 대칭과 합성함수의 조건을 연습하세요. 대칭에 따른 좌표 대응을 도형 관계로 연결하고, 여러 조건에서 얻은 관계가 함께 성립하는지 검토하세요(17·20번 대비).