경복고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

경복고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

경복고등학교는 서울 종로구에 있습니다. 이 시험은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용을 다룹니다. 앞부분에서는 적분의 성질과 평균값 정리, 극값의 기본 개념을 확인하고, 뒤에서는 여러 조건으로 함수의 형태를 제한하는 문제가 이어집니다.

미분과 적분을 따로 외우는 공부만으로는 후반 문제에 대응하기 어렵습니다. 정적분으로 주어진 관계를 미분해 함수를 찾거나, 도함수에서 얻은 극값으로 교점 개수를 판단하고 마지막에 넓이를 계산하는 식의 연결이 나타납니다. 첫 계산 전에 어떤 조건이 함수의 모양을 정하는지 구별하세요.

서술·단답형도 성격이 다릅니다. 18번은 위치를 미분해 운동 방향과 이동 거리를 구하는 기본 흐름이고, 20번은 절댓값을 포함한 곱의 미분가능성을 함수의 근 구조와 연결합니다. 같은 형식이라는 이유로 비슷한 시간이 들 것이라 가정하지 말고, 필요한 판단 단계를 먼저 살펴보세요.

난이도 분포 — 기본형 다음에 이어지는 조건 해석

1~7번은 자동 분류 기준 쉬움에 속합니다. 적분구간의 끝점, 대칭구간의 홀짝 성질, 적분상수와 극값 판정처럼 짧게 확인할 수 있는 개념이 중심입니다. 식을 끝까지 전개하기 전에 성질을 적용할 수 있는지 살피면 후반 문제에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다.

보통인 8·10번은 각각 교점 개수와 부피의 최대를 다룹니다. 두 문제 모두 도함수를 계산하는 것보다 미분할 함수를 만드는 단계가 중요합니다. 9번에서 어려움 문항이 먼저 나오므로, 막혔을 때 10번을 확인하고 돌아오는 운영도 연습해 보세요.

11~17번에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 다만 11번처럼 구간별 평행이동을 알아보면 접근이 정리되는 문제도 있어 분류만 보고 건너뛰지는 마세요. 18번의 기본 운동 문제를 확보한 뒤 19·20번의 절댓값과 미분가능성 조건에 집중하는 순서가 가능합니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 정적분의 연결

도함수의활용은 평균값 정리와 극값의 기본형부터 운동, 일대일 대응, 실근 개수까지 폭이 넓습니다. 특히 15·16·19번에서는 증가·감소를 구한 뒤 그 결과를 다른 조건에 다시 적용해야 합니다. 증감표를 작성하는 데서 끝내지 말고 수평선이나 직선과의 교점으로 읽는 연습을 하세요.

정적분에서는 1·3번의 성질 확인과 9·11·13번의 구조 해석이 대비됩니다. 변수인 적분 끝점과 적분변수의 구별, 구간별 이동, 절댓값의 분할이 각각 출발점입니다. 정적분의활용인 14·17번은 대칭을 이용해 넓이를 줄여 생각하는 과정이 중요합니다.

부정적분의 4·7번은 계산과 적분상수 결정의 기초를 확인합니다. 미분계수와도함수의 20번은 절댓값의 꺾임이 다른 인수와 곱해질 때 미분가능성이 어떻게 달라지는지 다룹니다. 단원 이름만으로 분리하기보다 기본 적분, 함수 복원, 그래프 조건 적용의 순서로 연결해 공부하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 미분·적분 구성

같은 2024학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 경복고는 총 20문항으로 지역 평균 21.1문항보다 적습니다. 서술·단답형도 2문항으로 평균 3.4문항보다 적지만, 자동 분류 기준 어려움 비율은 50%로 평균 46%보다 높습니다.

어려움 비율 순위는 11개교 중 4위입니다. 문항 수와 서술·단답형 수가 적다는 사실만으로 풀이 부담을 가볍게 판단하기는 어렵습니다. 경복고에서는 객관식 후반의 함수 조건 해석을 충분히 연습하고, 짧은 기본형에서 아낀 시간을 복합 문항에 쓸 수 있도록 준비하세요.

가장 많은 단원은 여러 학교에서 도함수의활용이며, 진선여자고등학교는 정적분입니다. 경복고 역시 도함수 활용이 중심이지만 정적분의 변수 처리와 넓이의 대칭도 함께 요구합니다. 다른 학교 문제로 보충할 때는 단원 이름뿐 아니라 교점 개수, 절댓값 분할, 미분가능성처럼 실제로 필요한 판단을 맞추어 고르세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 여러 단계로 연결해야 한다는 점에서 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 도함수의 근, 원래 함수의 근, 다른 함수와의 교점을 구별해야 합니다. 풀이 옆에 각 점이 무엇을 뜻하는지 적으면 서로 다른 조건을 섞는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반에는 계산량을 늘리지 않는 선택이 중요합니다. 1번은 적분구간, 3번은 대칭, 4번은 피적분함수의 정리를 먼저 확인하세요. 9번의 항등식에서 길게 막히면 다음 문제를 확인하고, 뒤쪽의 18번도 먼저 살펴보세요. 쉬운 문제에서 확실한 근거를 짧게 남겨 재검산 시간을 줄이는 연습이 좋습니다.

후반에는 조건 해석과 계산을 나누어 관리하세요. 13번은 매개변수의 위치에 따른 구간 분할, 14·17번은 대칭으로 줄일 영역, 15·16번은 교점 개수의 경우를 먼저 적습니다. 계산을 시작하지 못한 채 같은 식만 반복해서 읽는다면 그래프와 부호표로 바꾸어 보고, 접근이 정리되지 않으면 표시한 뒤 돌아오세요.

마지막 검토는 절댓값과 경계 조건에 집중하세요. 8번은 접할 때 서로 다른 교점 수가 달라지고, 12번은 위치 차의 최대와 거리의 최대가 다릅니다. 18번은 속도가 사라지는 것과 방향이 바뀌는 것을 구별해야 합니다. 19·20번에서는 근의 중복과 곱 전체의 미분가능성을 확인해 조건 누락을 막으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 구간 성질과 대칭, 부정적분 계산 및 적분상수 결정을 먼저 복습하세요. 계산 전에 쓸 수 있는 성질을 한 줄로 적으세요(1·3·4·7번 대비).
2. 도함수의 부호표에서 극값과 최대·최소를 읽는 연습을 하세요. 평균값 정리의 적용 구간과 실제 길이의 양수 범위도 함께 확인하세요(2·5·10번 대비).
3. 위치·속도·가속도를 연결하고 거리와 변위를 구분하세요. 속도의 근마다 부호 변화를 표시한 뒤 위치 차의 절댓값까지 확장하세요(12·18번 대비).
4. 변수 끝점이 있는 정적분과 구간별 이동을 연습하세요. 바깥 변수와 적분변수를 구별하고 절댓값의 분할점이 움직이는 경우를 추가하세요(9·11·13번 대비).
5. 삼차함수와 직선의 교점을 증감표로 해석하세요. 극값에 접하는 경계, 공통근, 일대일 대응 구간을 따로 점검하세요(8·15·16번 대비).
6. 대칭을 활용하는 넓이와 절댓값 함수의 미분가능성을 연결해 마무리하세요. 근의 중복과 다른 인수의 역할을 말로 설명한 뒤 풀이를 쓰세요(6·14·17·19·20번 대비).