동북고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

동북고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

동북고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 출제 범위는 여러가지방정식·여러가지부등식·평면좌표·직선의방정식·원의방정식·항등식입니다.

기본형은 평행한 직선, 원의 표준형, 내분과 외분처럼 개념을 정확히 적용하는 내용입니다. 중간에는 판매액 조건을 이차부등식으로 옮기거나 평행사변형의 대각선 성질을 활용합니다. 계산을 시작하기 전에 주어진 말과 그림이 어떤 관계식으로 이어지는지 정리하세요.

객관식 후반에는 자취와 넓이, 무리식과 길이, 원과 직선의 교점 개수처럼 여러 판단을 연결하는 문제가 나옵니다. 서술·단답형 앞부분은 주어진 근과 내분·외분, 넓이를 다루므로 출발점이 보이는 문제를 먼저 확보하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반의 조건 결합에 대비

쉬움 문항은 초반뿐 아니라 18·20번에도 있습니다. 18번은 삼차방정식의 주어진 근과 근과 계수의 관계를 연결하고, 20번은 거리 공식을 이용해 넓이를 표현합니다. 서술·단답형을 마지막에 한꺼번에 처리하면 접근 가능한 문항의 풀이 시간을 놓칠 수 있습니다.

보통 구간은 개념을 식으로 옮긴 뒤 조건을 확인하는 과정이 중심입니다. 5번은 인상률과 판매량 변화의 구별, 7번은 절댓값의 구간과 엄격한 부등호, 19번은 선분 밖의 점까지 살피는 판단이 필요합니다. 풀이 길이보다 조건을 빠짐없이 반영했는지가 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 13~17번에서 연속합니다. 13번의 자취, 14번의 복소수 근과 주기, 16번의 접선 조건처럼 접근법도 다릅니다. 체감 난도는 다를 수 있으므로 막힌 문제를 표시하고 다른 유형으로 옮겨 가세요.

출제 단원 — 평면좌표를 중심으로 도형과 대수 연결

평면좌표는 거리의 최솟값, 내분과 외분, 평행사변형, 무게중심, 자취와 길이의 식까지 폭넓게 다룹니다. 같은 거리 공식도 2번에서는 삼각부등식으로 계산을 줄이고, 13번에서는 자취를 나타내며, 15번에서는 근호가 포함된 관계식을 만드는 데 쓰입니다. 공식 적용 후 무엇을 해석해야 하는지도 함께 복습하세요.

직선의방정식과 원의방정식은 기본형에서 복합 도형으로 이어집니다. 1·3번으로 기울기와 완전제곱을 점검하고, 17번에서는 수직 관계와 원의 지름을 연결하세요. 16·21번은 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교하는 판단이 핵심입니다.

여러가지방정식은 인수분해·조립제법·판별식, 여러가지부등식은 모델링·절댓값·정수해의 개수로 나뉩니다. 항등식 14번은 출제 수가 적어도 별도 준비가 필요한 문항입니다. 근의 성질과 반복 구조를 이용한 나머지 판단까지 확인하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역에서 살펴본 구성

같은 2023학년도 1학년 1학기 기말 수학(상)을 치른 서울 지역에서 동북고의 21문항은 평균 21.3문항에 가깝습니다. 서술·단답형은 4문항으로 평균 4.9문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 38%로 평균 30%보다 높으며, 11개교 중 4위입니다.

가장 많은 단원은 동북고와 은광여자고등학교가 평면좌표, 경기고등학교·개포고등학교·휘문고등학교가 원의방정식입니다. 여러가지부등식이나 직선의방정식이 중심인 학교도 있으므로, 다른 학교 문제를 풀 때 동북고의 좌표 조건 해석을 충분히 연습했는지 확인하세요.

동북고 대비에서는 서술·단답형의 개수만으로 부담을 판단하기보다 객관식 후반의 접근 시간을 확보해야 합니다. 거리·중점·외분 공식을 따로 익힌 뒤 자취와 도형의 넓이로 연결하는 연습을 더하세요. 지역 비율 역시 자동 분류 기준입니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 공통적으로 표현을 바꾸는 판단이 필요합니다. 복습할 때 그 근거를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기울기·완전제곱·내분과 외분처럼 출발점이 분명한 문항을 확보하세요. 8번에서 경우 구분이 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 13~17번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지므로, 한 문제에 머물기 전에 서술·단답형의 접근 가능한 문항도 살펴보는 편이 좋습니다.

18·20번은 자동 분류 기준 쉬움이지만 답안에 필요한 관계를 적을 시간을 남겨야 합니다. 특히 20번은 점과 직선 사이의 거리를 이용하라는 방법 조건을 확인하세요. 19번은 점의 위치를 나누어 모든 경우를 검토하고, 21번은 접선의 거리 조건부터 써 두면 풀이의 출발점을 분명히 할 수 있습니다.

마지막 검토에서는 부등호와 점의 위치를 우선 확인하세요. 7·8번은 끝점과 제외되는 정수, 15번은 제곱 전 부호와 선분 내부 조건, 16번은 매개변수 구간, 19번은 연장선까지 살폈는지가 핵심입니다. 처음 조건을 벗어난 후보가 없는지 되짚어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기울기와 원의 표준형, 내분·외분 공식을 먼저 복습하세요. 외분점의 방향과 완전제곱의 보정을 그림과 식으로 함께 확인하세요(1·3·4번 대비).
2. 인수분해와 조립제법으로 방정식의 차수를 낮추세요. 남은 식에 판별식 또는 근과 계수의 관계를 적용하는 이유를 설명하세요(6·12·18번 대비).
3. 이차부등식의 모델링과 절댓값의 구간 분할을 연습하세요. 정수해는 수직선에 표시하고 경계의 포함 여부를 따로 확인하세요(5·7·8번 대비).
4. 중점·외분·무게중심을 좌표의 합으로 연결하세요. 선분 전체와 절반의 길이, 내부와 연장선을 구별하는 문제를 함께 풀어 보세요(9·10·11·19번 대비).
5. 거리의 합과 비를 도형으로 해석한 뒤 넓이·둘레와 연결하세요. 근호식을 제곱할 때는 원래 조건에 다시 대입해 검토하세요(2·13·15번 대비).
6. 점과 직선 사이의 거리로 높이와 접함을 표현하세요. 수직 관계가 원의 지름으로 이어지는 경우까지 확장해 보세요(16·17·20·21번 대비).
7. 이차식의 근을 대입한 뒤 거듭제곱과 곱의 반복 구조를 찾아보세요. 묶음 뒤에 남는 인수에 따라 경우를 나누는 연습을 하세요(14번 대비).