충암고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

충암고 고2 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

충암고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이 시험은 지수와 로그의 계산에서 출발해 지수함수·로그함수의 그래프, 삼각함수와 그래프까지 다룹니다. 객관식 17문항과 서술·단답형 6문항으로 구성돼 있어, 풀이를 알아보는 연습과 직접 완성하는 연습이 함께 필요합니다.

초반에는 거듭제곱근과 로그의 성질을 확인하지만, 이후에는 역함수와 교점, 도형의 넓이, 제한된 범위에서의 최대·최소로 연결됩니다. 공식을 많이 기억하는 것만으로는 부족하고, 그림이나 문장으로 주어진 조건을 식으로 옮기는 과정이 중요합니다.

서술·단답형이 모두 복잡한 유형인 것은 아닙니다. 근과 계수의 관계, 일정한 비율의 증가, 로그함수의 평행이동처럼 접근 방법이 분명한 문항도 있습니다. 어려운 객관식에 오래 머무르기보다 뒤쪽의 풀 수 있는 문항을 먼저 확보하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간 구간부터 나타나는 어려움

자동 분류 기준 쉬움은 1~3번으로, 거듭제곱근의 계산과 로그의 기본 성질을 확인하는 구간입니다. 4~8번은 보통이지만 밑과 진수의 조건, 로그방정식의 해 검증이 포함됩니다. 빨리 풀더라도 조건을 적는 절차를 생략하지 마세요.

9~11번에서 그래프 위의 점과 역함수 해석이 이어집니다. 같은 지수·로그 범위라도 계산에서 관계 해석으로 요구가 바뀌는 구간입니다. 이후 삼각함수 문항을 지나 17번에서는 도형을 삼각비와 부채꼴 넓이로 연결해야 합니다.

서술·단답형에서는 20·21번이 어려움입니다. 다만 21번은 로그의 정수 조건을 거듭제곱 조건으로 바꾸면 탐색 범위를 정리할 수 있습니다. 분류만 보고 건너뛰기보다 첫 변형을 시도한 뒤 계속 풀지 판단하세요.

출제 단원 — 로그를 중심으로 계산과 그래프 연결

가장 많이 나온 로그는 밑의 변환과 정의 조건에서 시작해 이차방정식, 실생활의 증가, 정수 조건까지 폭이 넓습니다. 같은 공식을 반복하는 구성이므로 보기보다는, 로그를 이용해 서로 다른 조건을 표현하는 연습이 필요합니다.

로그함수에서는 방정식뿐 아니라 역함수와 그래프 이동을 다룹니다. 지수함수로 분류된 9번도 로그 그래프와 함께 해석해야 하므로 단원별 학습을 마친 뒤 두 함수가 섞인 문제를 풀어 보세요. 20번은 지수·로그의 성질을 이차함수의 최대·최소와 연결합니다.

삼각함수는 각의 변환, 항의 짝짓기, 방정식, 도형의 넓이를 다루며, 삼각함수그래프에서는 주기와 이동 및 부등식으로 이어집니다. 식의 변형을 마친 뒤 그래프에서 무엇을 읽어야 하는지 설명하는 연습이 효과적입니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 문항 구성

같은 2022학년도 2학년 1학기 중간고사 수학I을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 충암고의 총 문항 수는 23문항으로 지역 평균 22.3문항보다 많고 서술·단답형도 6문항으로 평균 5.4문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 26%로 지역 평균 26%와 같으며, 어려움 비율 순위는 11개교 중 4위입니다.

가장 많은 단원은 충암고에서 로그인 반면, 건국대학교사범대학부속고등학교와 경기고등학교 등은 로그함수, 미림여자고등학교는 삼각함수입니다. 충암고를 준비한다면 로그의 기본 계산을 빠르게 처리하는 데서 출발하되, 역함수와 지수함수의 최대·최소로 연결하는 연습까지 이어 가세요. 분류 비율만으로 실제 체감 난이도를 단정하기보다는 문항의 조건 처리 방식을 함께 살피는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 계산보다 변형의 근거와 조건의 유지가 중요하다는 공통점이 있습니다. 풀이를 복습할 때 식만 따라 쓰지 말고 역함수로 바꾼 이유, 길이의 부호를 정한 이유, 치환 범위가 생긴 이유를 각각 문장으로 설명하세요. 위 선정은 풀이 구조에 따른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~8번의 기본 계산과 조건 확인을 안정적으로 마치는 데 집중하세요. 9~11번에서 관계식이 잡히지 않으면 표시하고 다음 구간으로 이동해 삼각함수와 그래프 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 어려운 문항을 만났다는 사실과 남은 문제가 모두 어렵다는 판단을 구분해야 합니다.

객관식 17번에 들어가기 전에 서술·단답형을 작성할 시간이 남았는지 점검하세요. 18·19번처럼 배운 원리를 바로 적용할 수 있는 문항을 먼저 처리하고 20·21번으로 돌아오는 순서도 가능합니다. 연습할 때는 총 소요 시간뿐 아니라 어느 변형에서 멈췄는지 기록해 다음 풀이의 판단 기준으로 삼으세요.

마지막 검토에서는 계산을 전부 반복하기보다 빠지기 쉬운 조건을 확인하세요. 6·8번은 밑과 진수, 11번은 해의 허용 범위, 15번은 이동 상수의 범위, 20번은 치환 구간, 21·23번은 경계 포함 여부가 핵심입니다. 서술 답안에는 조건을 적은 뒤 계산하고 마지막에 검증하는 흐름을 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수와 로그의 기본 계산을 정리하세요. 근호를 유리수 지수로 바꾸고 밑의 변환과 합·차 성질을 설명하는 연습부터 시작합니다(1·2·3·4·5·7번 대비).
2. 정의 조건과 해 검증을 한 묶음으로 연습하세요. 계산 전에 허용 범위를 적고 얻은 후보를 다시 대입하는 습관을 만드세요(6·8·21번 대비).
3. 지수·로그 그래프의 좌표 관계와 역함수를 연결하세요. 점을 문자로 놓고 축에 평행한 조건과 좌표 교환을 식으로 옮깁니다(9·10·11·22번 대비).
4. 로그의 활용과 치환을 연습하세요. 근과 계수의 관계, 일정한 배율의 증가를 정리한 뒤 치환 범위가 있는 최대·최소로 확장합니다(18·19·20번 대비).
5. 삼각함수의 각 변환과 도형 해석을 연결하세요. 사분면의 부호, 여각인 항의 짝짓기, 접선의 수직 관계를 그림과 함께 확인합니다(12·13·14·17번 대비).
6. 삼각함수그래프를 직접 그려 보세요. 진폭·주기·이동을 찾고 수평선과의 교점을 기준으로 부등식 구간을 표시한 뒤 끝점을 검토합니다(15·16·23번 대비).