충암고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

충암고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

충암고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 기본 계산뿐 아니라 연속성을 이용한 계수 결정, 증가와 감소, 극값과 실근 개수까지 연결됩니다.

초반에는 유리화와 그래프의 좌우극한처럼 접근법이 비교적 분명한 문제가 있습니다. 이후에는 극한값이 존재한다는 사실에서 분자의 인수를 찾거나, 수평선과의 교점 변화를 이용해 함수의 모양을 거꾸로 추정해야 합니다. 공식을 알고 있어도 어떤 조건부터 쓸지 판단하는 단계가 필요합니다.

서술·단답형은 11·16·17·19·20·21번입니다. 객관식 사이에도 배치되어 있으므로 형식을 확인하며 풀어야 합니다. 조건을 식으로 옮긴 근거를 연습장에 남기고, 마지막에는 얻은 함수가 전체 구간에서 조건을 만족하는지 검토하는 방식으로 대비하세요.

난이도 분포 — 중반의 연속된 조건 해석

쉬움은 1·2번으로, 무리식의 극한과 그래프의 좌우극한을 확인합니다. 보통은 3·4·5·7·8번과 16·17·18번입니다. 특히 뒤쪽에도 미분계수의 정의나 극한의 대소 관계로 출발할 수 있는 문제가 있으므로 중반에서 막혀도 끝까지 살펴보세요.

자동 분류 기준 어려움은 6·9·10·11·12·13·14·15·19·20·21번입니다. 9~15번에서는 함수의 인수, 도형의 길이, 연속성, 접선, 극값과 정수 조건이 번갈아 등장합니다. 문제마다 표현이 달라 같은 풀이를 반복하기보다 조건을 익숙한 개념으로 번역해야 합니다.

마지막 19~21번은 전 범위에서 극한이 존재하는 조건이나 부등식이 항상 성립하는 조건을 다룹니다. 한 점에서 성립하는 식을 얻는 것과 모든 입력에 대해 성립함을 확인하는 것은 구별해야 합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인별 체감 난도는 다를 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 극한의 연결

도함수의활용은 6·7·12·13·14·15·18·20·21번입니다. 도함수의 부호로 증가와 감소를 읽는 기본형에서, 수평선과의 교점 개수와 항상 성립하는 부등식을 해석하는 유형으로 확장됩니다. 극값의 위치뿐 아니라 그 높이가 어떤 조건을 결정하는지 설명할 수 있어야 합니다.

함수의극한은 1·2·4·8·9·10·16·19번입니다. 유리화와 치환 외에도 무한대에서의 차수 비교, 근과 계수의 관계, 극한 존재를 이용한 실근 제한이 포함됩니다. 분모가 사라질 때 분자도 사라져야 한다는 조건을 얻은 뒤 약분과 추가 검증까지 이어 가는 연습이 필요합니다.

함수의연속인 3·11번과 미분계수와도함수인 5·17번은 연결 개념을 점검하기 좋습니다. 연속은 함숫값과 극한값을 맞추는 조건이며, 미분계수는 차분몫의 극한입니다. 이 기본형을 정확히 익혀야 9·12번처럼 여러 함수가 얽힌 문제에서도 출발점을 찾을 수 있습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 조건 해석 부담

같은 2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 충암고는 총 21문항으로 지역 평균 21.4문항과 가깝습니다. 서술·단답형은 6문항으로 평균 3.6문항보다 많아 선택지 없이 계산을 마무리하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 52%로 지역 평균 43%보다 높으며, 11개교 중 3위입니다. 함수의극한이나 미분계수와도함수가 가장 많은 학교들과 달리 충암고는 도함수의활용이 중심입니다. 기본 극한 계산을 익힌 뒤 극값, 교점 개수, 구간 전체의 부호 조건을 연결하는 순서로 학습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 난도 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 개별 계산 전에 전체 구조를 정해야 합니다. 조건을 그래프나 인수 관계로 옮긴 뒤 후보를 구하고, 마지막에 원래 조건으로 되돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 극한과 미분계수 문제를 안정적으로 처리하고, 6번에서 그래프 판단이 길어지면 표시한 뒤 다음 문제를 확인하세요. 9~15번이 연속해서 부담스럽더라도 16·17·18번의 접근법을 살펴볼 시간을 남겨 두는 것이 좋습니다.

서술·단답형을 모두 마지막에 몰아 풀기보다 11번과 16·17번의 시작 조건부터 확인하세요. 11번은 전체 연속성, 16번은 극한의 대소 관계, 17번은 차분몫으로 바꿀 수 있는지가 출발점입니다. 연습할 때는 첫 식을 세우기까지 걸린 시간과 이후 계산 시간을 나누어 기록해 보세요.

검토에서는 분모의 영점, 정의역의 경계, 정수 조건을 우선 확인하세요. 14번은 접점을 세는 규칙, 15번은 정수 입력의 부호, 19번은 추가 실근의 발생 여부가 중요합니다. 20번은 내부의 접촉 조건만 확인하고 끝내지 말고 구간 끝의 부호를, 21번은 경계 높이의 교점 개수를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 좌우극한, 치환을 먼저 복습하세요. 식을 바꾸기 전에 접근 방향과 분모가 사라지는 지점을 표시하세요(1·2·4·10번 대비).
2. 극한의 존재와 연속성을 인수 조건으로 바꾸어 보세요. 약분 뒤의 식과 원래 점의 함숫값을 구별하세요(3·8·9·11번 대비).
3. 미분계수의 정의를 알아보는 연습을 하세요. 항을 더하고 빼는 변형에서 시작해 함수 관계식의 미분으로 확장하세요(5·12·17번 대비).
4. 도함수의 부호표와 원함수의 그래프를 함께 그리세요. 극대·극소와 전체 구간에서의 증감을 구별하세요(6·7·18번 대비).
5. 수평선의 높이에 따른 서로 다른 교점 개수를 정리하세요. 접하는 높이와 구간 경계를 별도로 검사하세요(13·14·21번 대비).
6. 전 범위 조건을 처리하는 연습으로 마무리하세요. 정수에서의 부호, 실근의 반복 구조, 항상 성립하는 부등식을 각각 구분해 풀이 근거를 적으세요(15·16·19·20번 대비).