충암고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

충암고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

충암고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이 시험은 여러가지방정식과 부등식, 이차함수, 항등식, 순열조합, 행렬을 다루며, 총 22문항 중 객관식은 18문항, 서술·단답형은 4문항입니다. 계산의 기본기와 조건을 해석하는 능력을 함께 점검하는 구성입니다.

가장 눈에 띄는 특징은 순열조합의 폭입니다. 문자 나열, 공 선택, 좌석 배치에서 카드 색칠까지 소재가 달라지므로, 익숙한 공식부터 대입하기보다 무엇을 구별하고 어떤 조건을 먼저 적용할지 정해야 합니다.

방정식과 함수 영역 역시 계산만으로 끝나지 않습니다. 실수해가 존재하는 조건을 판별식으로 바꾸거나, 근의 구조를 이용해 방정식을 낮은 차수로 정리해야 합니다.

난이도 분포 — 중간과 후반에 이어지는 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준입니다. 초반의 1~4번은 보통이지만 5번에서 조건부 경우의 수가 등장하고, 8~10번에서는 실수해의 존재, 정수해의 개수, 그래프의 위치 관계를 차례로 판단해야 합니다. 이 구간은 식을 세운 뒤에도 조건을 다시 적용하는 단계가 남습니다.

11~15번에서는 보통 문항과 쉬움인 14번을 활용해 풀이 속도를 회복할 수 있습니다. 다만 12번의 좌석 제한이나 15번의 행렬 거듭제곱은 절차를 정리하지 않으면 계산이 늘어납니다.

후반은 16~18번과 20~22번이 어려움입니다. 그 사이의 19번은 보통이므로, 앞에서 막혔다고 뒤를 한꺼번에 미뤄 두지 마세요. 서술·단답형이 모두 어려움에 속한다는 점을 고려해 객관식 풀이와 별도로 접근 시간을 확보하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 순열조합 중심, 방정식의 구조까지 확인

순열조합은 가장 많은 문항이 나왔을 뿐 아니라 후반 서술·단답형에도 이어집니다. 6·11·13번에서는 틈에 넣기, 여사건, 반드시 포함되는 대상 고정하기를 익히고, 20~22번에서는 여러 조건을 동시에 적용하는 단계로 확장해야 합니다. 소재별 암기보다 조건별 풀이 도구를 정리하는 것이 유용합니다.

여러가지방정식은 인수분해와 근과 계수의 관계에서 출발해 실수해의 존재 조건, 상반방정식, 켤레근으로 이어집니다. 이차함수 10번과 항등식 17번은 단원별 문항 수는 적어도 자동 분류 기준 어려움입니다.

행렬은 곱이 정의되는 조건, 같은 행렬의 성분, 거듭제곱 정리로 내용이 나뉩니다. 부등식은 상황을 식으로 옮기는 문제와 정수해·절댓값을 연결하는 문제를 함께 다룹니다. 기본 연산을 안정시키면서 정의역과 경계 포함 여부를 표시하는 습관을 길러야 합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 은평구의 순열조합 중심 시험들

은평구에서 같은 2025학년도 1학년 1학기 기말고사 공통수학1을 치른 이웃 학교들의 평균 문항 수는 20.5문항, 서술·단답형은 2.5문항입니다. 충암고는 총 22문항, 서술·단답형 4문항으로 이 평균보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율도 이웃 학교 평균 32%보다 높은 45%이며, 어려움 비율 순위는 3개교 중 2위입니다.

대성고등학교와 하나고등학교도 가장 많이 출제된 단원은 순열조합입니다. 단원 중심은 같지만 어려움 비율과 서술·단답형 구성이 다르므로, 충암고 학생은 순열조합의 기본 공식을 익힌 뒤 조건을 겹쳐 적용하는 문제까지 연습해야 합니다. 특히 20~22번처럼 분류 기준을 세우는 문제를 시간 안에 정리하는 훈련이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 찾은 관계만으로 풀이가 끝나지 않으며, 그 관계가 모든 대상과 모든 경우에 적용되는지 검토해야 합니다. 계산을 시작하기 전 조건을 정리한 표나 간단한 그림을 남기는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근이 바로 보이는 문항을 확보하고, 5번이나 8~10번에서 분류 기준이 잡히지 않으면 표시하고 이동하세요. 뒤의 행렬과 기본 조합 문항도 확인할 시간을 남기세요.

18·20·21·22번은 별도로 살펴볼 시간을 남겨 두세요. 특히 20~22번은 경우를 나누는 표를 만드는 데 시간이 필요합니다. 모의 풀이에서는 계산 시간뿐 아니라 조건 정리와 누락 확인에 걸린 시간도 기록하고, 마지막에는 아직 읽지 않은 문항이 없는지 점검하세요.

검산은 조건 중심으로 하세요. 8번은 실수해 존재 조건을 구한 뒤 범위를 유지했는지, 9·19번은 끝점을 포함했는지, 18번은 정수와 부호 조건을 사용했는지 확인합니다. 21·22번에서는 각 경우가 서로 겹치지 않고 가능한 배치나 묶음을 모두 포함하는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 행렬의 정의와 기본 연산부터 안정시키세요. 곱의 크기 조건을 쓰고 같은 행렬의 성분을 비교한 뒤, 관계식으로 거듭제곱을 줄이는 순서로 연습하세요(1·14·15번 대비).
2. 순열조합의 기본 도구를 구분하세요. 틈에 넣기, 여사건, 필수 대상 고정, 조합 기호 변형을 조건 문장과 연결해 정리하세요(6·7·11·12·13번 대비).
3. 방정식의 근을 구조로 보세요. 인수분해, 허근의 관계, 판별식, 상반방정식과 켤레근을 차례로 익히고 각 변형의 조건을 적으세요(2·4·8·16·18번 대비).
4. 부등식과 함수는 범위를 그림으로 표시하세요. 교집합, 정수해의 경계, 그래프와 직선의 위치 관계 및 구간의 끝값을 함께 확인하세요(3·9·10·19번 대비).
5. 조건을 새 표현으로 바꾸는 연습을 하세요. 자연수 조건에서 최소량을 먼저 배정하거나 함수값 조건으로 인수를 갖는 다항식을 만드는 접근을 익히세요(5·17번 대비).
6. 복합 경우의 수는 분류표를 작성하고 검산하세요. 홀짝과 색, 분단과 이웃 관계, 카드 묶음과 색 배정을 구분해 세고 시간 안에 정리하는 연습으로 마무리하세요(20·21·22번 대비).