매원고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

매원고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

매원고등학교는 수원시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한값을 읽거나 미분 공식을 적용하는 기본형부터 연속 조건으로 함수식을 정하고 도형을 해석하는 문제까지 포함합니다.

초반에는 좌극한과 우극한, 그래프의 함숫값, 미분계수의 정의를 정확히 구별하는지가 중요합니다. 중반부터는 같은 개념이 다른 표현으로 제시됩니다. 극한 조건에서 함숫값과 미분계수를 복원하거나, 접선 기울기의 제한을 함수값의 범위로 바꾸어야 합니다.

서술·단답형도 난이도가 일정하지 않습니다. 19번은 다항함수의 미분, 21번은 접점 설정과 접선 조건을 다루며, 20번은 항등식의 미분, 22번은 도형에서 얻은 식의 극한을 다룹니다. 번호순으로만 풀기보다 풀이 구조가 보이는 문항을 먼저 해결하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반의 조건 연결이 관건

자동 분류 기준 쉬움은 1~5번과 19번입니다. 극한의 존재, 그래프 읽기, 인수분해, 미분계수의 정의와 롤의 정리 등 기본 개념을 확인합니다. 쉬운 구간에서도 함숫값과 극한값을 혼동하거나 변화량의 배율을 빠뜨리면 계산이 짧아도 오류가 생깁니다.

자동 분류 기준 보통은 6~9번과 12·14·21번입니다. 대소 관계를 이용한 극한, 사잇값의 정리, 유리화와 접선 설정처럼 적용할 도구를 고르는 단계가 필요합니다. 특히 21번은 주어진 점을 접점으로 취급하지 않는 것이 출발점입니다.

자동 분류 기준 어려움은 10번부터 나타나며 15~18번에 연속해서 배치돼 있습니다. 이 구간에서는 접선과 교점, 매개변수에 따른 미분가능성, 교점 개수와 연속성을 차례로 해석해야 합니다. 20·22번도 남아 있으므로 객관식 마지막 구간에서 풀이가 막히면 서술형을 먼저 살피세요.

출제 단원 — 미분의 비중과 연속 조건의 부담

가장 많이 나온 단원은 미분계수와도함수입니다. 3번의 정의식 변형과 7번의 기하적 의미에서 시작해 10번의 곱의 미분법, 16번의 미분가능성, 20번의 항등식 활용으로 이어집니다. 미분 공식을 외우는 데서 그치지 말고 주어진 조건을 미분할 수 있는 식으로 정리하는 연습이 필요합니다.

함수의극한은 기초 계산부터 도형 활용까지 폭이 넓습니다. 6번은 부등식으로 극한을 좁히고, 12번은 무한대로 커지는 항의 상쇄를 확인하며, 22번은 직선의 기울기와 절편을 먼저 식으로 표현합니다. 극한 계산 자체보다 계산할 식을 만드는 단계가 길어질 수 있습니다.

함수의연속은 문항 수만 보고 가볍게 볼 수 없습니다. 17·18번에서는 연속 조건을 이용해 다른 함수를 제한하거나 구간별 그래프를 복원합니다. 도함수의활용 역시 넓이, 평균값 정리, 접선의 재교점으로 형태가 달라지므로 미분 결과가 뜻하는 기하적 관계를 설명할 수 있어야 합니다.

문항별 정리

문항별 난이도는 자동 분류 기준입니다. 아래는 원문이나 전체 해설 대신 풀이의 출발점과 확인할 조건을 정리한 내용입니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 이용자 투표로 우열을 확인한 것은 아닙니다. 공통적인 부담은 조건을 다른 표현으로 옮기는 단계가 이어진다는 점이므로, 계산을 시작하기 전에 조사할 지점이나 만들어야 할 식을 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반의 1~5번은 개념을 정확히 적용해 시간을 확보하는 구간으로 삼으세요. 10·11번에서 식의 구조가 바로 보이지 않으면 필요한 조건을 메모하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 12·14번과 서술형 19·21번도 함께 살펴, 객관식 후반에 시간이 모두 묶이지 않도록 하세요.

서술형은 계산할 시간과 근거를 적을 시간을 함께 남겨야 합니다. 20번은 나눗셈의 항등식과 미분한 식, 21번은 접점 설정과 통과 조건, 22번은 기울기와 절편 관계가 답안의 뼈대입니다. 연습할 때 이 뼈대를 먼저 적고 계산을 채우면 풀이가 길어져도 필요한 근거를 빠뜨리지 않을 수 있습니다.

마지막 점검에서는 9번의 보조함수 연속성, 13번의 경계 달성 가능성, 15번의 후보 비교를 확인하세요. 16번은 영점이 정의 구간에 속하는지와 접합점의 좌우 미분계수를, 18번은 열린 끝에서의 극한과 실제 함숫값을 구별해야 합니다. 22번에서는 수직인 직선의 기울기 부호와 절편을 정하는 대입을 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한과 함숫값 구분부터 점검하세요. 좌우에서 접근하는 값과 점의 표시를 따로 읽고, 유리식의 약분 조건을 설명하는 연습을 합니다(1·2·4번 대비).
2. 미분계수 정의의 변형을 익히세요. 입력 변화량과 분모를 맞추는 과정을 적고, 극한에서 함숫값과 미분계수를 분리해 얻습니다(3·8·10번 대비).
3. 정리의 적용 조건을 문장으로 확인하세요. 부등식의 부호, 사잇값 정리의 연속성, 평균값 정리와 경계 달성 여부를 함께 점검합니다(5·6·9·13번 대비).
4. 구간별 함수는 접합점 표부터 만드세요. 좌극한·우극한·함숫값을 비교한 뒤 절댓값 영점과 미분가능성을 조사하고, 최대·최소 후보를 정리합니다(14·16·17·18번 대비).
5. 접선과 도형 조건을 직접 식으로 옮기세요. 넓이를 거리로 표현하고, 접선의 재교점이나 외부점을 지나는 조건을 세워 봅니다(7·11·15·21·22번 대비).
6. 서술형은 근거가 드러나는 답안으로 마무리하세요. 항별 미분과 항등식의 미분을 구별하고, 무한대 극한에서는 상쇄와 유리화의 순서를 점검합니다(12·19·20·22번 대비).