문정고등학교
2025년 1학년 1학기 중간고사

문정고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 이차방정식, 이차함수, 복소수, 여러가지방정식, 항등식입니다. 다항식의 사칙연산부터 근의 성질과 제한된 구간의 최대·최소까지 연결됩니다.

앞부분의 기본형을 정확하게 처리하는 능력이 중요합니다. 다항식의 부호 정리, 음수의 제곱근, 근과 계수의 관계, 접하는 그래프의 판별식처럼 익숙한 개념이 나옵니다. 이 구간에서 계산을 길게 늘이지 않아야 뒤의 조건 해석에 시간을 쓸 수 있습니다.

후반부에서는 표현을 바꾸는 힘이 필요합니다. 도형의 닮음을 방정식으로, 복잡한 다항식을 인수들의 곱으로, 교점 정보를 함수의 식으로 바꾸어야 합니다. 서술·단답형은 필요한 식을 얻은 이유까지 순서대로 정리하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 뒤에 이어지는 조건 결합

쉬움 문항은 초반의 1~5번뿐 아니라 9·10·13번에도 있습니다. 중간에 조립제법이나 공식 변형에서 막히더라도 다음 문항을 확인해 보세요. 근을 직접 구할 필요가 없는 상황에서 근의 공식을 쓰거나, 필요한 항보다 훨씬 많이 전개하는 습관을 줄이는 것이 좋습니다.

보통 문항은 단일 공식에 조건 확인이 추가되는 형태입니다. 7번은 같은 일차인수가 반복된다는 점, 12번은 매개변수의 모든 값에서 중근이라는 점, 14번은 접함과 서로 다른 교점을 함께 만족해야 한다는 점이 핵심입니다. 조건 하나만 반영하고 계산을 끝내지 마세요.

어려움은 15번부터 등장하며 서술·단답형의 20·21번까지 이어집니다. 16번과 19번은 보통으로 분류되어 있으므로 후반 전체를 같은 부담으로 볼 필요는 없습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 학생의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 다항식의 구조와 이차식 해석

다항식은 연산, 공식 변형, 조립제법, 도형 응용을 고르게 다룹니다. 8번은 분수식을 정리한 뒤 자연수 조건을 약수 조건으로 바꾸고, 18번은 긴 식에서 공통인수를 찾아야 합니다. 전개를 잘하는 것에 더해 어떤 형태로 정리해야 조건을 쓸 수 있는지 판단해야 합니다.

이차방정식은 근과 계수의 관계와 판별식이 중심입니다. 3번의 기본 대칭식이 19번의 변형된 근으로 만든 방정식으로 확장됩니다. 12번은 이차방정식으로 분류되지만 항등식의 계수 비교도 필요하므로, 단원 이름만으로 풀이 도구를 제한하지 마세요.

이차함수에서는 접함과 교점, 전체 실수 범위와 제한된 구간의 최대·최소를 구별해야 합니다. 5번에서 꼭짓점 해석을 익힌 뒤 16·20번에서 축과 구간의 위치를 함께 보세요. 별도 단원으로 분류된 17·21번도 각각 복소수와 다항식의 기본 성질을 활용합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 구분해 읽기

작년은 수학(상), 올해는 공통수학1로 과목이 다릅니다. 따라서 전체 단원 구성을 같은 범위의 비중 변화로 해석하기는 어렵습니다. 표의 최다 단원은 각 시험의 구성을 보여 주는 정보이며, 직접적인 단원 비교는 자료에서 겹치는 다항식과 항등식에 한정합니다.

다항식은 작년과 올해 모두 7문항이고, 항등식은 작년 4문항에서 올해 1문항으로 바뀌었습니다. 다만 올해 12번처럼 다른 단원에 분류되어도 항등식의 원리를 쓰는 문제가 있으므로, 분류상 문항 수가 줄었다고 관련 개념을 덜 준비해도 되는 것은 아닙니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 작년 2문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 작년에는 10·19번이었으나 올해는 15·17·18·20·21번으로 후반에 모이고 서술·단답형에도 포함됩니다. 과목 차이를 감안하되, 준비할 때는 후반 문제를 위한 시간과 조건을 글로 정리하는 연습을 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 확정된 난도 순위가 아니라 조건 해석의 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 표현을 바꾸어야 합니다. 도형은 방정식으로, 교점은 함수의 차로, 두 다항식은 합과 차로 바꾸는 첫 줄을 스스로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 개념 판단이 보이는 문항을 확보하세요. 6~8번에서 식 정리가 길어지면 표시하고 9·10번을 살펴보는 방식이 좋습니다. 15번에서 시간이 걸리더라도 바로 뒤의 16번까지 미루지 말고, 전체를 훑어 풀 수 있는 문제를 찾으세요.

서술·단답형에 들어갈 시간을 남겨 두세요. 19번은 새 근의 합과 곱, 20번은 두 함수의 차, 21번은 합과 차의 차수를 첫 줄에 적으면 풀이의 방향이 선명해집니다. 연습에서는 조건을 식으로 바꾸는 시간과 계산 시간을 구별해 기록하고, 막힌 원인을 확인하세요.

검토할 때는 계산을 반복하기보다 조건 누락을 찾으세요. 7번은 반복 인수, 8·18번은 자연수와 대소 조건, 14번은 교점 조건의 등호 여부가 중요합니다. 16·20번은 축이 구간 안에 있는지와 어느 끝점에서 극값이 생기는지, 21번은 나누어떨어지지 않는 조건까지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 부호 정리와 기본 복소수 연산을 먼저 안정시키세요. 괄호 처리와 음수의 제곱근을 짧게 계산하는 연습이 출발점입니다(1·2번 대비).
2. 근과 계수의 관계로 대칭식을 표현하고 새 근의 합과 곱으로 방정식을 작성하세요. 직접 근을 구하는 방식과 풀이 길이를 비교해 보세요(3·13·19번 대비).
3. 인수정리와 조립제법을 연결하세요. 반복 인수의 조건을 몫에도 적용하고 분수식은 약수 조건으로 바꾸어 보세요(7·8·9번 대비).
4. 판별식을 접함, 실근의 존재, 서로 다른 교점으로 구별해 쓰세요. 모든 매개변수에서 성립하는 조건은 항등식으로 처리하세요(4·10·12·14번 대비).
5. 이차함수의 축과 구간을 먼저 그린 뒤 최대·최소를 결정하세요. 교점 정보에서 함수의 차를 구성하는 유형까지 확장하세요(5·16·20번 대비).
6. 공식 변형과 구조 찾기를 연습하세요. 도형을 방정식으로 바꾸거나 고차식을 인수분해하고, 두 식은 합과 차로 정리해 보세요(6·15·18·21번 대비).
7. 켤레복소수와 허근의 거듭제곱을 함께 복습하세요. 주기로 묶은 합에서는 남는 항을 따로 적고 나눗셈이 가능한 조건을 확인하세요(11·17번 대비).