천안고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

천안고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

천안고등학교는 충남 천안시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 순열조합, 행렬, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 이차함수, 다항식입니다. 경우의 수와 행렬의 기본기를 갖추면서 방정식과 함수의 조건 해석까지 준비해야 하는 범위입니다.

초반에는 순열·조합 기호, 행렬의 성분 계산, 삼차방정식의 실근, 연립일차부등식처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 같은 소재를 조건이 붙은 선택과 배치, 행렬식의 변형, 정수해 개수의 판단으로 확장합니다. 공식을 알고 있는지와 공식을 적용할 구조를 찾는지가 함께 드러나는 시험입니다.

서술·단답형에도 경로의 수와 행렬의 성분처럼 접근이 분명한 문항이 있습니다. 반면 후반에는 인접 조건을 동시에 처리하거나 서로 다른 실근의 개수를 따져야 합니다. 문항 형식만 보고 부담을 정하기보다 전체를 훑어 풀이의 출발점이 보이는 문제부터 해결하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 객관식 1~5번과 서술·단답형 15·16번입니다. 기본 연산의 정확성이 중요한 구간으로, 실근과 허근의 구분이나 서로 다른 주사위의 구별처럼 짧은 조건도 놓치지 않아야 합니다. 먼저 이 구간을 안정적으로 처리하면 후반 조건 해석에 쓸 여유를 만들 수 있습니다.

보통 문항인 6·7·8·17번은 개념을 연결하는 단계입니다. 행렬의 전개에서 곱의 순서를 보존하고, 선택 조건을 경우별 조합으로 옮기며, 허근의 관계식으로 복잡한 표현을 줄여야 합니다. 기본 공식을 외운 뒤 바로 고난도 문제로 넘어가기보다 이러한 연결 과정을 충분히 연습하세요.

어려움은 9~14번에 연속으로 등장한 뒤 18·19번에서 다시 나타납니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 이 구간에서는 경우를 나누는 기준을 찾거나 계산 뒤 후보를 검토해야 하므로, 식을 세우기 전 조건을 정리하는 시간이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 행렬의 폭넓은 활용

순열조합은 기호 계산, 여사건, 조건부 선택, 좌석 배치, 경로, 인접 조건까지 다룹니다. 같은 단원이라도 선택의 순서를 구별하는지, 금지된 경우를 빼는 편이 쉬운지, 묶음을 만든 뒤 어디에 끼워 넣을지를 판단해야 합니다. 유형 이름을 맞히는 공부보다 조건마다 어떤 대상을 세는지 설명하는 연습이 효과적입니다.

행렬은 성분과 연산의 기본에서 곱셈 순서, 단위행렬을 이용한 변형, 근과 계수의 관계와의 연결까지 이어집니다. 특히 12번은 행렬의 개별 성분을 모두 구하려 하기보다 주어진 행렬 관계를 활용하는 접근이 중요합니다. 17번은 행렬 계산 뒤 나타난 근의 표현을 합과 곱으로 정리하는 연결을 확인합니다.

여러가지부등식에서는 4번의 교집합 구하기가 9·10번의 해 개수 조건으로 확장됩니다. 이차함수와 다항식은 각각 13·14번으로 출제되며 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 출제 문항 수가 적은 단원도 그래프의 교점이나 차수와 실근 조건을 결합하므로 준비에서 제외하지 마세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 충남 지역의 조건 해석 비중

같은 2025학년도 1학년 1학기 기말고사 공통수학1을 치른 충남 지역 학교들과 견주면, 천안고는 총 19문항으로 이웃 학교 평균 20.0문항보다 적습니다. 서술·단답형은 5문항으로 평균 5.5문항보다 적지만, 자동 분류 기준 어려움 비율은 42%로 평균 34%보다 높습니다. 문항 수만으로 풀이 부담을 판단하기 어려운 구성입니다.

어려움 비율은 3개교 중 2위입니다. 북일고등학교는 45%, 충남삼성고등학교는 22%이며, 가장 많이 출제된 단원은 모두 순열조합입니다. 최다 단원은 같지만 이 정보만으로 세부 유형의 구성까지 같다고 볼 수는 없습니다.

천안고 학생은 순열조합의 기본 선택과 배치를 익힌 뒤 이 시험의 좌석 조건과 인접 조건으로 확장하세요. 행렬도 성분 계산에서 멈추지 말고 주어진 관계식을 변형하는 연습이 필요합니다. 다른 학교 문제를 풀 때도 문항 수를 채우기보다 천안고에서 요구한 조건 처리 과정을 연습하는 데 초점을 맞추세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 연결과 예외 검토를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확정된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 첫 계산보다 구조 선택이 중요하며, 풀이를 마친 뒤에도 원래 조건을 다시 적용해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 계산과 개념 연결을 처리한 뒤 서술·단답형 15~17번도 확인하세요. 9~14번에 오래 머물러 뒤의 접근 가능한 문항을 놓치지 않는 것이 중요합니다. 연습할 때는 계산 시간과 경우 분류에 걸린 시간을 나누어 기록하면 지연되는 원인을 찾기 쉽습니다.

부등식에서는 구간 그림과 경계 표시를 남기세요. 9번은 자연수라는 범위 제한부터 적용해야 하고, 10번은 매개변수와 고정된 근의 대소에 따라 나누어야 합니다. 정수해를 세고 나서는 양 끝의 정수가 실제로 포함되는지, 바로 바깥의 정수는 제외되는지 되짚으세요.

마지막 검토는 6·12번의 행렬 곱셈 순서, 11·18번의 배치 중복과 금지 조건, 19번의 공통근을 중심으로 하세요. 서술·단답형에서는 곱셈식만 적기보다 각 인수가 어떤 선택을 나타내는지 짧게 표시하세요. 계산 결과를 다시 구하는 것보다 조건 누락을 찾아내는 검토가 필요한 시험입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 합·곱의 법칙을 복습하세요. 순서를 구별하는 이유와 여사건을 쓰는 이유를 말로 설명해 보세요(1·5·15번 대비).
2. 조건부 선택에서 좌석 배치와 인접 배열로 확장하세요. 경우 분류표를 만든 뒤 묶음 내부와 바깥 배열, 사용 가능한 빈자리를 따로 표시하세요(7·11·18번 대비).
3. 행렬의 성분과 연산을 익힌 뒤 곱셈 순서를 보존하는 변형을 연습하세요. 주어진 관계로 필요한 행렬과 벡터만 계산하는 접근을 익히세요(2·6·12·16번 대비).
4. 방정식의 인수분해와 근의 관계를 복습하세요. 허근의 식을 줄이는 연습에서 판별식과 공통근을 함께 검사하는 문제로 넘어가세요(3·8·17·19번 대비).
5. 부등식의 교집합을 수직선으로 나타낸 뒤 정수해 개수 조건을 붙이세요. 열린 경계와 닫힌 경계를 바꾸어 해 개수가 어떻게 달라지는지 확인하세요(4·9·10번 대비).
6. 항등식과 부등식의 조건을 그래프·차수·판별식으로 옮기는 연습을 하세요. 조건마다 얻은 정보를 적고 후보를 원래 조건에 대조하세요(13·14번 대비).