천안고등학교
2025년 1학년 2학기 중간고사

천안고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 어떤 시험인가

천안고등학교는 충남 천안시에 있습니다. 이번 시험의 출제 단원은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 집합입니다. 좌표를 구하는 기본 계산에서 시작해 접선, 넓이, 이동에 따른 최댓값·최솟값과 집합의 조건 해석까지 다룹니다.

도형 문항은 같은 거리 공식이라도 쓰임이 달라집니다. 3번에서는 점과 직선 사이의 거리를 직접 적용하지만, 13번에서는 그 거리를 반지름과 비교해 교점 조건으로 바꾸어야 합니다. 18번에서는 삼각형의 넓이를 높이의 최댓값으로 해석하는 단계가 먼저 필요합니다.

집합도 단순한 원소 나열에 머물지 않습니다. 공집합이 되는 경우, 포함 관계에서 반드시 들어갈 원소, 연산을 거쳐 묶이는 원소를 구별해야 합니다. 공식 암기와 함께 ‘조건 때문에 선택의 자유가 어떻게 달라지는가’를 설명하는 연습이 필요한 시험입니다.

난이도 분포 — 중반의 연속된 어려움과 후반 형식 전환

1~5번은 차집합, 두 점 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리, 평행이동, 무게중심을 확인합니다. 풀이 방향이 비교적 분명한 구간이지만 음수 좌표와 이동 방향의 부호를 놓치면 계산이 어긋납니다. 빠르게 푸는 연습과 함께 대입 직전의 부호 확인을 습관으로 만드세요.

6~8번에서는 포함 관계의 예외, 내분과 수직 조건의 결합, 집합 연산과 경우 세기가 등장합니다. 이어지는 9~14번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 접점과 절편을 연결하거나, 교점 개수에서 접하는 상황을 찾는 등 조건을 다른 형태로 바꾸는 과정이 길어집니다.

15번은 쉬움, 16·17번은 보통으로 돌아온 뒤 18~20번에서 다시 어려움이 이어집니다. 번호 순서가 난이도 상승 순서는 아닙니다. 자동 분류 기준은 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없지만, 중반에서 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 문항을 살피는 운영에 참고할 수 있습니다.

출제 단원 — 집합의 비중과 원·이동의 연결

집합은 차집합에서 포함 관계, 부분집합의 개수, 약수 집합, 선택과목 조사까지 폭넓게 나옵니다. 원소를 직접 나열하는 방법과 원소 수를 식으로 다루는 방법을 모두 준비해야 합니다. 특히 11번은 한 원소를 고르면 다른 원소도 함께 들어가는 구조여서 일반적인 부분집합 공식의 적용 전에 묶음부터 찾아야 합니다.

원의방정식은 중심과 반지름을 읽는 15번을 바탕으로 접선과 교점 조건을 다루는 9·10·12번, 넓이를 최대화하는 18번으로 확장됩니다. 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교하는 관점이 반복됩니다. 원과 직선을 무조건 연립하기 전에 위치 관계만으로 알 수 있는 정보를 먼저 표시하세요.

도형의이동은 4번의 직선 평행이동에서 13번의 원의 이동, 14번의 대칭 후 접선 해석, 19번의 경로 최소화로 이어집니다. 평면좌표와 직선의 기본 계산은 이 문항들의 준비 단계이기도 합니다. 단원별 공식을 따로 외운 뒤 끝내기보다 좌표 설정, 이동, 거리 해석을 이어서 연습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 해석의 전환이 두드러지는 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 계산 전에 대상을 다시 정리해야 한다는 점으로, 집합은 선택 단위, 기울기는 접선, 경로는 이동 후의 거리로 바꾸는 첫 판단이 중요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 구조를 확인하고, 9~14번에서 접근이 길어지면 표시한 뒤 15~17번을 살펴보세요. 서술·단답형이 시작된다는 이유만으로 15번을 뒤로 미룰 필요는 없습니다. 연습할 때 전체를 훑어 풀 수 있는 문항을 찾는 시간을 따로 확보하고, 어려운 문항으로 돌아올 여유를 남기세요.

도형 문항에서는 식을 세우기 전에 중심, 반지름, 이동점의 범위를 간단히 그리세요. 9·10번의 사분면 조건은 좌표 부호를 정하고, 12번의 접하는 상황은 교점 개수를 바꿉니다. 13번의 서로 다른 교점 조건에는 엄격한 부등식이 필요하며, 20번의 교점은 직선 전체가 아니라 해당 선분 위에 있어야 합니다.

검토는 풀이를 처음부터 반복하기보다 제외 조건과 등호 조건을 중심으로 하세요. 6번의 공집합, 8번의 제외할 집합, 11번의 함께 선택할 원소를 확인하세요. 18번은 넓이를 최대화하는 높이의 방향, 19번은 최소 경로의 실현 가능성을 점검하고, 서술·단답형에서는 요구한 대상과 최종 표기가 맞는지도 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·내분점·무게중심을 좌표별로 계산하는 기본형부터 복습하세요. 음수 좌표와 내분비의 대응을 확인한 뒤 직선 조건과 결합하세요(2·3·5·7번 대비).
2. 집합 연산을 원소 나열과 포함 관계로 설명하세요. 공집합과 제외 조건을 따로 표시하고 자유롭게 선택할 수 있는 원소를 찾으세요(1·6·8번 대비).
3. 약수 집합과 원소 수 문제를 연습하세요. 최대공약수로 교집합을 정리하고, 합집합의 중복을 제거하는 식을 세우세요(16·17번 대비).
4. 원의 표준형에서 중심과 반지름을 읽고 접선 조건으로 확장하세요. 접점 좌표, 중심과 직선 사이의 거리, 같은 외부점의 접선 길이를 연결하세요(9·10·15번 대비).
5. 평행이동과 대칭이동을 점·직선·원에 각각 적용하세요. 변환된 중심을 표시한 다음 교점 조건이나 공통접선으로 연결하세요(4·13·14번 대비).
6. 조건이 선택을 제한하는 유형을 모아 연습하세요. 집합에서는 함께 고를 묶음을, 도형에서는 접점과 경계 또는 경로를 펴는 이동을 찾으세요(11·12·19번 대비).
7. 넓이 문제를 밑변과 높이로 바꾸어 설명하세요. 움직이는 꼭짓점의 최대 높이와 넓이 이등분의 면적식을 구별하고 교점의 선분 범위를 확인하세요(18·20번 대비).