동탄고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

동탄고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이번 시험의 출제 단원은 명제, 함수, 합성함수와역함수, 절대부등식, 유리함수, 무리함수입니다. 명제의 참·거짓과 조건의 관계에서 출발해 함수의 대응, 그래프의 이동과 대칭, 최댓값·최솟값으로 이어집니다.

객관식만으로 구성되어 있지만 개념을 알아보는 문제와 여러 조건을 결합하는 문제가 함께 있습니다. 명제에서는 문장과 진리집합을 오가고, 함수에서는 대응도와 식, 그래프를 바꾸어 읽어야 합니다. 특히 역함수의 존재를 일대일대응으로 해석하거나 그래프의 대칭을 도형의 성질로 옮기는 과정이 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 기본 공식을 바로 적용하기 전에 조건을 정리해야 하는 경우가 많습니다. 연산량만 줄이려 하기보다 무엇을 먼저 판단할지 정하는 연습이 필요합니다. 풀이를 복습할 때도 계산 과정과 함께 치역 확인, 경우 분류, 경계 검토가 어느 단계에 쓰였는지 표시해 보세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 결합

쉬움 문항에서는 명제인지 여부와 역의 표현, 함수의 기본 성질, 합성함수의 값과 역함수의 대응을 확인합니다. 7번은 부등식의 등호 성립, 10번은 이동 순서까지 챙겨야 합니다. 분류가 쉬움이어도 정의나 부호를 놓치면 오류가 생기므로, 익숙한 개념을 정확한 문장으로 설명할 수 있어야 합니다.

보통 문항은 기본 개념에 조건 해석이 더해집니다. 9번은 전체에 대한 조건과 존재 조건을 구별하고, 13번은 필요조건을 집합의 포함 관계로 바꿉니다. 16번은 교점이 없다는 조건을 방정식으로 옮기되 차수가 달라지는 예외를 따로 보아야 합니다. 이 구간의 안정성이 후반 풀이 시간을 확보하는 데 도움이 됩니다.

11번과 14번에서 대응의 경우 검토와 역함수의 대칭성이 등장하며, 19~22번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 후반에는 도형 해석과 구간별 그래프, 합성의 역추적이 이어집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 같다고 단정할 수는 없지만, 풀이의 시작점을 정하는 연습에 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 명제와 합성함수·역함수가 중심

명제는 용어의 정의부터 매개변수 조건까지 폭넓게 다룹니다. 1·2·5번에서 명제의 성립과 역, 부정을 익힌 뒤 6·9·13번의 조건 해석으로 연결하는 학습이 좋습니다. 특히 필요조건과 충분조건을 문장으로만 외우지 말고, 반례와 진리집합으로 확인해야 방향을 바꾸어 읽는 실수를 줄일 수 있습니다.

합성함수와역함수는 기본 대응을 읽는 4·8번에서 시작해 11번의 일대일대응 구성, 12번의 반복 합성, 14번의 넓이, 21번의 역추적으로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 표현 방식이 달라지므로 역함수 식을 구하는 연습에만 머물지 말고 대응도와 대칭 그래프도 함께 다루세요.

유리함수와 무리함수는 그래프의 특징이 다른 조건과 결합합니다. 15·19번은 대칭성, 16번은 직선과의 위치 관계, 20번은 구간별 그래프의 실근 개수, 22번은 역함수와 도형을 연결합니다. 절대부등식도 17번처럼 근과 계수의 관계로 식을 정리한 뒤 적용해야 하는 유형까지 준비할 필요가 있습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 화성시의 함수·논리 구성

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 화성시 이웃 학교를 보면, 동탄중앙고등학교와 화성고등학교의 평균 문항 수는 20문항이고 서술·단답형은 평균 0문항입니다. 동탄고는 22문항으로 전체 문항 수가 더 많으며, 이웃 학교들과 마찬가지로 객관식으로 구성되어 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 이웃 학교 평균 60%에 비해 동탄고가 32%이며, 비교 대상 3개교 중 3위입니다. 이 표의 비율은 정수로 반올림한 값입니다. 이 차이만으로 개인의 체감 난도를 정할 수는 없으며, 동탄고 학생은 기본·보통 문항을 안정적으로 처리하면서 후반의 조건 결합에 시간을 남기는 준비가 필요합니다.

동탄중앙고등학교의 최다 출제 단원은 명제이고 화성고등학교는 집합입니다. 동탄고는 명제와 합성함수와역함수가 함께 가장 많다는 점에 주목하세요. 논리 개념을 복습한 뒤 합성의 순서, 역함수의 대칭, 구간별 치역을 연결하는 연습에 비중을 두는 편이 이 시험의 구성에 맞습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 처리 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 가능한 후보를 넓게 만든 뒤 검증하기보다, 일대일대응·치역·부호 조건으로 처음부터 후보를 좁히는 접근이 유효합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 명제의 정의와 기본 대응을 읽는 문항을 정확히 처리하세요. 11번에서 대응의 경우가 길어지면 표시하고 12·13번을 먼저 확인할 수 있습니다. 14번에서 막혀도 뒤의 15·16·18번을 살펴보세요. 번호 순서를 고집하기보다 접근 방향이 보이는 문항을 확보하는 연습이 좋습니다.

후반을 위해서는 계산 전 준비 시간을 따로 의식하세요. 19번은 좌표와 대칭점을 그리는 일, 20번은 수평선 높이에 따른 교점 분류, 21번은 치역을 적는 일이 출발점입니다. 연습할 때 첫 관계식을 정하기까지 걸린 시간을 기록하면 개념 연결이 느린지 계산이 느린지 구분할 수 있습니다.

마지막 검토는 경계와 예외에 집중하세요. 13번은 포함 관계의 방향과 끝점, 16번은 방정식의 차수가 달라지는 경우, 17번은 등호 성립과 교점 조건이 중요합니다. 18번은 공역과 치역의 일치, 22번은 제곱 전 부호를 확인하세요. 검산할 때 같은 계산을 반복하기보다 처음의 조건으로 돌아가는 편이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제의 정의, 역과 부정, 필요·충분조건을 문장과 진리집합으로 함께 정리하세요. 역방향의 반례를 직접 찾는 연습을 하세요(1·2·5·6·9·13번 대비).
2. 함수의 일대일성과 치역·공역의 관계를 분리해 확인하세요. 제한된 정의역에서는 축과 끝점부터 표시하세요(3·18번 대비).
3. 대응도에서 합성 순서를 따라가고 역함수 조건을 원래 대응으로 바꾸세요. 이후 순환 주기와 조건에 맞는 대응 구성으로 확장하세요(4·8·11·12번 대비).
4. 평행이동과 대칭이동을 식과 그림으로 각각 검산하세요. 점근선과 대칭축을 표시한 뒤 넓이·길이 조건을 연결하세요(10·14·15·19·22번 대비).
5. 부등식은 적용 조건과 등호 성립 조건을 묶어 연습하세요. 교점의 근과 계수의 관계에서 필요한 부호를 먼저 확보하세요(7·17번 대비).
6. 교점 문제는 정의역, 차수 변화, 경계점의 중복을 점검하세요. 구간별 그래프와 수평선으로 실근 개수를 설명해 보세요(16·20번 대비).
7. 반복 합성은 바깥 단계부터 역추적하며 단계마다 치역 검사를 하세요. 후보를 지운 이유까지 적으면 경우 누락과 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다(21번 대비).