상명고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

상명고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 집합, 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 집합과 논리의 기본 개념을 확인하면서 여러 함수의 그래프를 해석하는 시험입니다.

함수 문항은 그래프의 모양을 아는 것에서 끝나지 않습니다. 정의역을 나눈 뒤 각 부분의 치역을 연결하거나, 합성 관계를 새로운 변수로 바꾸고 다시 원래 입력을 찾는 과정이 필요합니다. 식의 계산에 앞서 어느 구간에서 어떤 성질을 쓰는지 정리하는 것이 중요합니다.

명제 역시 용어 암기만으로 대비하기 어렵습니다. 모든 대상에 대한 성립과 어떤 대상의 존재를 구분하고, 이를 판별식이나 도형의 위치 관계로 바꾸어야 합니다. 서술·단답형에서는 집합의 원소 개수와 필요충분조건도 다루므로 기본 개념을 기호와 문장으로 설명하는 연습을 함께 하세요.

난이도 분포 — 후반 그래프 문항에 이어지는 조건 검토

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반의 1~4번에 이어 12번과 18번에도 있습니다. 포함관계, 절대부등식의 의미, 함수의 정의, 역함숫값의 해석을 빠르게 확인할 수 있어야 합니다. 앞 문항에서 막히더라도 뒤쪽의 시작점 해석이나 집합 문항까지 함께 미루지 마세요.

보통 문항에서는 기본 개념을 식으로 옮기는 단계가 추가됩니다. 7번은 산술평균과 기하평균의 관계를 쓸 형태로 정리해야 하고, 8번은 서로 다른 양화 조건을 각각 해석해야 합니다. 13·19번에서는 귀류법과 필요충분조건의 논리적 연결을 정확히 이해해야 합니다.

9~11번에서 어려움 문항이 이어지고, 14~17번에서도 그래프와 조건 해석이 반복됩니다. 서술·단답형의 20·21번은 그래프 성질을 근거로 설명하는 부담이 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아니며, 준비할 때는 풀이 단계와 조건 누락 가능성을 함께 보세요.

출제 단원 — 함수의 범위와 명제 해석을 함께 준비

공동 최다 단원 가운데 합성함수와역함수는 역함숫값을 바꾸어 읽는 기본형에서 일대일대응과 합성방정식으로 이어집니다. 특히 9번과 함수 단원의 15번은 각 구간이 일대일인지, 전체 치역에 겹침과 빈틈이 없는지를 함께 확인한다는 공통점이 있습니다.

무리함수는 제한된 정의역에서의 최대·최소, 그래프의 시작점, 직선과의 교점, 대칭을 이용한 해석으로 나뉩니다. 유리함수는 점근선과 대칭의 역할이 큽니다. 그래프를 외워 그리는 데서 멈추지 말고, 이동이나 절댓값 변환 뒤에도 남는 성질을 설명해 보세요.

명제는 양화사, 귀류법, 존재 조건, 필요충분조건을 다룹니다. 진리집합의 포함관계와 도형의 교점처럼 논리를 다른 표현으로 바꾸는 연습이 필요합니다. 집합과 절대부등식은 기본 점검에 적합하지만, 여집합의 기준과 등호 성립 가능성을 생략하지 않도록 주의하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이의 조건 처리 구조에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 대수 계산과 그래프의 허용 범위를 함께 확인해야 합니다. 식을 풀기 전에 구간을 표시하고, 후보를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아가는 순서를 습관화하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 개념이나 그래프의 기본형이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 9~11번에서 풀이가 길어지면 표시하고 12·13번을 확인하는 운영이 좋습니다. 서술·단답형도 18·19번부터 접근할 수 있으므로 객관식을 모두 마칠 때까지 뒤쪽을 남겨 두지 않도록 연습하세요.

조건을 읽는 시간과 식을 푸는 시간을 구별해 점검하세요. 9·15번은 구간별 치역을 먼저 적고, 16번은 구간과 치환 변수의 범위를 먼저 써 두면 재계산을 줄일 수 있습니다. 20번은 교점이 왜 고정점으로 바뀌는지 짧게 설명한 뒤 근의 위치 조건으로 넘어가면 풀이의 근거가 분명해집니다.

마지막 검토에서는 부등호와 끝점을 중심으로 보세요. 7번의 등호 성립 가능성, 8번의 모든 대상과 어떤 대상의 구별, 19번의 중복된 근 처리가 중요합니다. 그래프 문항에서는 점근선을 실제 그래프의 일부처럼 취급하지 않았는지, 정의역 밖의 해나 같은 경계점을 중복해서 세지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 포함관계와 여집합을 먼저 복습하세요. 전체집합을 고정한 뒤 원소를 나열하는 방법과 포함배제 원리를 연결해 보세요(1·18번 대비).
2. 절대부등식의 의미와 등호 조건을 정리하세요. 완전제곱식과 양수 조건을 확인하고 최솟값의 실현 가능성까지 설명하세요(2·7번 대비).
3. 함수의 정의, 치역과 공역, 역함숫값 해석을 묶어 연습하세요. 구간별 함수에서는 각 부분의 일대일성과 전체 치역을 따로 적으세요(3·4·9·15번 대비).
4. 명제를 진리집합과 존재 조건으로 바꾸세요. 양화사, 귀류법, 필요충분조건을 각각 기호와 문장으로 설명하는 연습을 하세요(8·13·14·19번 대비).
5. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프를 이동과 대칭으로 연결하세요. 점근선, 시작점, 축과의 교점을 표시하고 변환 뒤 남는 성질을 확인하세요(5·6·11·12·17번 대비).
6. 합성방정식과 그래프 교점 문제를 마지막에 묶어 연습하세요. 치환 전후의 구간을 구별하고 판별식, 근의 위치, 영역의 대칭을 함께 점검하세요(10·16·20·21번 대비).