자양고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

자양고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

자양고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 집합, 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 집합과 명제의 논리적 판단부터 함수의 대응 및 그래프 해석까지 함께 준비해야 합니다.

초반에는 일대일함수의 판별, 역함수 그래프의 성질, 유리함수의 대칭성, 무리함수의 평행이동 등 기본 개념을 확인합니다. 이후에는 주어진 식을 직접 계산하는 데서 나아가, 정의역과 치역이 주는 제약이나 합성 과정에서 바뀌는 구간을 찾아야 합니다.

명제와 함수는 별개로만 공부하기 어렵습니다. 일대일대응에서는 조건이 필요하기만 한지 충분하기도 한지 검토해야 하고, 집합 문항에서는 조건을 적용한 결과가 다시 집합에 속하는지 확인해야 합니다. 풀이의 출발 조건과 마지막 검증을 짝지어 정리하는 학습이 유효합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 결합

쉬움 문항은 1~7번과 22번입니다. 앞부분에서는 개념을 알고 있는지가 풀이 속도에 곧바로 영향을 줍니다. 다만 명제가 아닌 문장과 거짓인 명제를 구별하거나, 역함수 그래프의 성질을 적용할 전제를 확인하는 과정은 생략하지 마세요.

보통 문항은 8·9·10·13·14·18번입니다. 진리집합의 포함 관계, 유한집합의 대응, 함수의 결합법칙처럼 조건을 한 번 다시 표현해야 풀리는 유형입니다. 복잡한 계산을 시작하기 전에 대응표나 수직선에 정보를 정리하는 습관이 도움이 됩니다.

어려움 문항은 객관식 중간부터 나타나며 후반 서술·단답형으로 이어집니다. 특히 19·20·21·23번은 치환, 구간 분할, 논리와 도형의 연결을 요구합니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 강점에 따라 체감은 달라질 수 있으며, 후반의 22번도 반드시 확인하세요.

출제 단원 — 명제와 합성함수·역함수가 중심

합성함수와역함수는 그래프의 대칭부터 대응의 복원, 합성의 결합법칙, 역함수의 존재 조건, 합성 그래프의 넓이까지 폭이 넓습니다. 역함수를 구하는 계산만 반복하기보다 합성식의 안쪽 입력이 어디로 이동하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

명제도 기본 정의에서 진리집합, 필요충분조건, 대우와 부정으로 확장됩니다. 18번은 포함 관계를 구간 조건으로 옮기고, 21번은 명제의 부정을 원과 직선의 교점 조건에 연결합니다. 논리 기호를 문장과 그림으로 번갈아 표현해 보세요.

함수·유리함수·무리함수는 각각 3문항입니다. 단원명은 달라도 정의역과 치역, 그래프의 방향, 역함수의 대칭성이 반복됩니다. 절대부등식의 15번과 집합의 16번은 각각 단독 문항이지만 자동 분류 기준 어려움이므로, 비중이 작다는 이유로 기본 접근을 생략해서는 안 됩니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 광진구의 문항 구성과 서술 부담

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 광진구 학교들과 비교하면, 자양고의 총 23문항은 지역 평균 22.8문항과 비슷합니다. 서술·단답형은 6문항으로 평균 4.5문항보다 많아, 답을 고르는 연습과 함께 조건 및 풀이 과정을 직접 쓰는 훈련이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 자양고가 39%로 지역 평균 40%에 가깝고, 5개교 중 3위입니다. 이 비율만으로 체감 부담을 정하기는 어렵습니다. 자양고에서는 서술·단답형 안에서도 논리, 합성 그래프, 무리함수와 역함수를 오가므로 풀이 방식의 전환에 익숙해져야 합니다.

가장 많은 단원은 광남고등학교와 대원외국어고등학교가 합성함수와역함수, 건국대학교사범대학부속고등학교가 명제, 동국대학교사범대학부속가람고등학교가 집합입니다. 자양고는 명제와 합성함수와역함수가 함께 중심을 이루므로, 함수 계산을 마친 뒤에도 진리집합과 대우·부정에 대한 복습 시간을 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 처음 얻은 후보나 그래프를 그대로 확정할 수 없다는 점입니다. 조건의 반복 적용, 합성의 입력 구간, 역함수의 정의역으로 돌아가 검증하는 과정까지 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 조건 정리가 길어지는 문항에는 표시를 남기세요. 11·12번에서 막혔다면 13·14번을 확인하고, 객관식 후반을 모두 해결하기 전에 서술·단답형도 훑어 보세요. 특히 22번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 뒤에 있다는 이유로 남겨 두지 않는 편이 좋습니다.

서술·단답형에서는 계산 전에 핵심 조건을 짧게 기록하세요. 18번은 포함 관계와 구간의 끝점, 19번은 치환 전후의 입력, 20번은 합성에서 달라지는 구간을 적는 것이 출발점입니다. 연습 중에는 문제를 읽고 관계를 정리하는 시간과 실제 계산 시간을 나누어 기록해 보세요.

검토할 때는 식보다 허용 범위를 먼저 보세요. 11번의 평평한 구간 제외, 12번의 치역과 공역 일치, 15번의 등호 성립 가능성, 17번의 분모 조건을 점검하세요. 21번에서는 부정과 대우를 혼동하지 않았는지, 23번에서는 제곱하기 전의 부호 조건과 역함수의 정의역을 지켰는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수 그래프의 기본 판독부터 복습하세요. 일대일성, 점근선, 대칭 중심, 무리함수의 시작점을 말로 설명한 뒤 식으로 확인하세요(1·2·3·4번 대비).
2. 명제와 조건을 구별하고 진리집합을 그리세요. 필요충분조건과 대우를 포함 관계로 바꾸며, 부정이 붙은 조건도 같은 방식으로 정리하세요(5·6·7·8·18번 대비).
3. 대응표와 입력 치환으로 합성·역함수를 연습하세요. 합성 순서를 표시하고 역함수의 출력을 원래 함수의 입력으로 되돌리는 과정을 써 보세요(9·10·19·22번 대비).
4. 정의역과 치역을 따로 구한 뒤 일대일대응을 확인하세요. 함수의 일치 조건과 절편·점근선도 연결해 그래프 판단을 확장하세요(11·12·13·14번 대비).
5. 치환과 경우 분류를 묶어 연습하세요. 등호 조건의 실현 가능성, 원소 조건의 반복 적용, 합성 중간값의 범위를 각각 검증하세요(15·16·17번 대비).
6. 논리와 그래프를 연결하는 서술 연습을 마무리하세요. 합성 그래프의 구간 분할, 양화사의 부정, 역함수의 대칭성을 그림과 문장으로 함께 정리하세요(20·21·23번 대비).