자양고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

자양고 수학(하) 중간고사는 어떤 시험인가

자양고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이 시험은 집합의 뜻과 연산, 명제의 참·거짓과 필요충분조건, 절대부등식, 함수의 대응과 합성함수를 다룹니다.

집합과 명제에서는 문장을 기호로 옮기는 과정이 특히 중요합니다. 부분집합의 조건을 원소의 선택 규칙으로 바꾸거나, 명제가 거짓이라는 조건을 진리집합의 포함 관계로 해석해야 합니다.

함수 영역은 정의역과 공역의 대응, 같은 함수의 조건, 반복 합성, 도형에서 만든 함수까지 다룹니다. 서술·단답에서도 집합의 연산 법칙을 이용한 증명과 합성함수의 직접 대입이 함께 나옵니다.

난이도 분포 — 기본 확인 사이에 놓인 조건 추론

쉬움 문항은 집합의 정의와 중복 원소 처리, 일대일대응, 같은 함수, 합성함수 대입을 확인합니다. 초반의 기본 문제를 빠르고 정확하게 처리하는 것이 중요하지만, 뒤쪽 21번도 같은 성격이라는 점을 기억하세요. 대입 과정에서 괄호와 부호를 놓치면 확보할 수 있는 점수를 잃기 쉽습니다.

보통 구간에서는 풀이 도구의 선택이 필요합니다. 7번은 원소를 짝지어 선택하고, 13번은 반드시 포함되는 원소를 먼저 찾으며, 16번은 구간의 포함과 겹침을 나누어 판단합니다. 식을 길게 전개하기보다 조건을 그림이나 표로 바꾸는 연습이 효과적입니다.

어려움 구간은 중간의 9·11번부터 시작해 뒤쪽 서술·단답과 마지막 문항으로 이어집니다. 18번의 중복 원소 처리, 20번의 논리와 판별식 연결, 22번의 도형과 합성함수 연결처럼 표현을 바꾸는 단계가 풀이 부담을 만듭니다.

출제 단원 — 집합과 명제의 조건 해석이 중심

집합은 부분집합의 개수뿐 아니라 원소 개수의 최댓값·최솟값, 차집합과 여집합, 연산의 증명, 원소의 곱을 이용한 추론까지 폭넓게 출제됐습니다.

명제에서는 진리집합을 수직선에 옮기는 문제와 필요조건·충분조건을 판별하는 문제가 이어집니다. 19번은 집합 연산에서 얻은 관계를 논리적 조건으로 바꾸고, 20번은 모든 실수라는 조건을 이차식의 부호와 연결합니다. 집합과 명제를 따로 공부한 뒤에도 두 영역을 오가는 연습이 필요합니다.

함수 문항 수만 보고 학습 우선순위를 낮추는 것은 피하세요. 11번은 그래프의 출력을 다시 입력하는 반복 구조, 22번은 이동하는 점에서 얻은 넓이함수의 합성을 다룹니다. 절대부등식에서는 성립 여부를 확인하는 6번과 최솟값 및 등호 조건을 함께 다루는 9번을 연결해 복습할 수 있습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 광진구의 단원 구성과 서술 부담

같은 2023학년도 1학년 2학기 중간고사 수학(하)를 치른 광진구 학교들과 비교하면, 자양고는 총 22문항으로 지역 평균 21.0문항보다 많고 서술·단답도 5문항으로 평균 4.0문항보다 많습니다. 문항 풀이와 함께 풀이 근거를 남기는 연습에 시간을 배분할 필요가 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 자양고가 32%로 지역 평균 38%보다 낮으며, 7개교 중 5위입니다. 다만 이 비율만으로 개인의 체감 부담을 단정할 수는 없습니다. 자양고는 집합이 가장 많고, 이웃 학교들은 명제·도형의이동·원의방정식이 가장 많은 단원으로 나타나므로 연습할 문제의 중심도 달라집니다.

자양고 학생은 지역의 다른 시험지를 풀 때 단원 구성이 자신의 시험 범위와 맞는지 먼저 살펴보세요. 집합 연산과 논리 조건을 연결하는 연습을 우선하고, 서술·단답에서는 사용한 법칙과 포함 관계의 방향을 짧게 설명하는 습관을 들이는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 익숙한 공식에 바로 대입하기 전에 조건을 다른 표현으로 바꿔야 한다는 점입니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 연결 단계와 검산 부담을 근거로 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 정의와 직접 대입으로 처리할 수 있는 문항을 확보하고, 조건 정리가 길어지는 문제는 표시해 돌아오세요. 9·11·15번에서 오래 막힌다면 뒤의 서술·단답을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 특히 21번을 남겨 둔 채 마지막 22번에 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 배열을 확인하세요.

서술·단답에서는 결론만 쓰기보다 조건에서 결론으로 넘어가는 핵심 근거를 남기세요. 17번은 연산 법칙에 따른 변형, 19번은 집합의 포함과 서로소 관계, 20번은 논리 조건에서 부호 조건으로 넘어가는 이유가 중요합니다.

검토는 조건 중심으로 하세요. 12번의 공집합 제외, 16번의 구간 끝점, 17번의 증명 방법 제한, 20번의 엄격한 부등호, 22번의 중간 출력 범위를 다시 확인하는 것이 좋습니다. 풀이를 처음부터 반복하기보다 조건이 달라지는 경계에서 오류가 생겼는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 1·2·3·5번으로 집합의 뜻, 중복 원소, 함수의 대응과 같음을 정리하세요. 정의를 말로 설명한 뒤 대표 문제를 풀어 보세요.
2. 7·8·13번으로 원소를 짝짓거나 필수 원소와 선택 원소를 나누는 연습을 하세요. 최대·최소를 만드는 집합이 실제로 조건에 맞는지도 확인하세요.
3. 4·14·16번으로 진리집합을 수직선에 표시하고 포함 관계를 판별하세요. 경계점을 포함하는 경우와 제외하는 경우를 바꿔 보세요.
4. 6·9·10번으로 항상 성립하는 이유와 반례를 찾는 방법을 구분하세요. 최솟값 문제에서는 등호 성립 조건까지 한 묶음으로 점검하세요.
5. 15·17·18·19·20번으로 집합 연산과 논리 조건을 연결하세요. 연산 법칙이나 포함 관계를 근거로 짧게 서술하는 연습을 더하세요.
6. 11·21·22번으로 합성 순서, 반복되는 함숫값, 구간별 입력 범위를 차례로 복습하세요. 도형에서 함수를 만든 뒤 합성하는 유형까지 확장하세요.