분당중앙고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

분당중앙고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

분당중앙고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분입니다. 극한과 연속을 따로 계산하는 데서 나아가, 그 조건으로 다항함수를 정하고 그래프의 성질을 해석하는 흐름이 두드러집니다.

도함수의 활용에서는 극값 계산뿐 아니라 접선과 곡선의 관계, 수평선과의 교점, 평균변화율로 정의된 함수까지 다룹니다. 도함수를 구하는 능력에 더해 어떤 함수를 미분해야 하는지 판단하는 연습이 필요합니다. 부정적분도 도함수에서 원래 함수를 복원하고 극값 조건을 연결하는 데 쓰입니다.

형식은 제공된 자료의 분류를 따랐습니다. 특히 19번 해설에는 서술 요청 문구가 있으나 형식 정보는 객관식이므로, 문항 구성과 표시는 형식 정보를 기준으로 했습니다. 학습할 때는 형식과 별개로 극한이 존재하기 위한 근거부터 계수 결정까지 설명할 수 있도록 준비하세요.

난이도 분포 — 중반에 이어지는 조건 해석

보통 문항은 1~4번, 6·7·9번과 19번입니다. 그래프의 한쪽 극한, 극값 계산, 미분계수의 정의, 접선의 중근 구조처럼 기본 개념을 정확히 적용해야 합니다. 자동 분류 기준 쉬움 문항이 없다는 사실만으로 모든 문제가 복잡하다고 볼 수는 없지만, 기본 유형에서도 조건 확인을 생략하기 어렵습니다.

5·8번을 지나 10~18번에는 어려움 문항이 연속됩니다. 연속성으로 인수를 얻고 미분가능성으로 중복도를 좁히거나, 극값으로 그래프를 복원한 뒤 근의 개수를 판단하는 식으로 단계가 연결됩니다. 시작점을 찾지 못한 문항은 표시하고, 다른 문항에서 확보할 수 있는 풀이를 먼저 진행하세요.

20·21번도 어려움으로 분류됩니다. 앞쪽에서 시간을 모두 쓰면 연속성에 근거한 논증과 구간 전체의 부등식 검토가 부담스러워집니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 연습에서는 계산 시간과 조건 해석 시간을 나누어 점검하세요.

출제 단원 — 도함수 활용과 극한의 연결

도함수의활용은 2·5·6·9·11·16·17·18·21번입니다. 극대·극소의 기본형부터 대칭성을 이용한 함수 복원, 접선과 실근 개수, 구간에서의 최솟값으로 확장됩니다. 극점의 위치와 극값을 구분하고, 도함수가 사라지는 점에서 실제로 부호가 바뀌는지 확인하는 습관이 바탕이 됩니다.

함수의극한은 1·3·8·12·13·19번입니다. 초반에는 그래프와 극한의 성질을 이용하지만, 이후에는 차수 비교, 인수의 중복도, 극한이 존재하지 않는 지점의 수를 활용합니다. 유한한 극한이 존재한다는 말을 분자와 분모의 소거 조건으로 번역하는 연습이 중요합니다.

미분계수와도함수의 10·14번, 함수의연속의 15·20번은 경계의 조건을 다항식 구조와 연결합니다. 부정적분으로 분류된 7번도 극값 판단을 함께 요구합니다. 단원별 표는 대표 분류이므로, 한 단원에 속한 문항에서도 다른 개념이 함께 쓰인다는 점을 염두에 두세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 한 조건에서 얻은 식을 다음 조건에 연결해야 합니다. 풀이 중간에 확보한 인수, 부호, 연속 구간을 짧게 적으면 다시 계산하는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 그래프 읽기와 기본 미분·적분 구조가 보이는 문항부터 확보하세요. 5·8번에서 계수 결정이 길어지면 표시하고 다음 문항의 접근 가능성을 확인하는 편이 좋습니다. 10~18번의 어려움 문항을 모두 해결한 뒤에야 후반을 보려 하지 말고, 전체 문항을 훑는 연습을 해 두세요.

서술·단답형인 20번은 처음 읽을 때 논증의 틀을 남겨 두세요. 불연속 후보점, 곱함수의 연속 조건, 사잇값의 정리를 적용할 구간을 나누어 적으면 재접근이 쉬워집니다. 주어진 자료에는 시험 시간이 없으므로 분 단위로 고정하기보다, 연습에서 조건 해석과 계산 중 어디에 시간이 몰리는지 기록해 조정하세요.

마지막에는 좌우 방향과 중복 검사를 우선하세요. 1·13번은 치환이나 절댓값 처리 뒤의 접근 방향, 10·14번은 연속성과 미분가능성의 구별, 16·17번은 서로 다른 근의 개수가 중요합니다. 18번의 한쪽 미분 조건을 양쪽 조건으로 바꾸지 않았는지, 21번에서 나눗셈으로 제외된 경계를 확인했는지도 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 한쪽 극한과 입력 치환을 복습하세요. 접근점을 옮길 때 방향도 함께 표시하고 함숫값과 구별하는 연습부터 시작하세요(1·3번 대비).
2. 기본 미분과 부정적분을 극값 조건에 연결하세요. 도함수의 부호표를 그리고 적분상수를 함수 조건으로 정하는 과정을 반복하세요(2·4·7·9번 대비).
3. 극한의 존재를 차수와 인수 조건으로 바꾸세요. 무한대의 차수 비교와 유한한 점에서의 소거를 구별해 정리하세요(8·12·13·19번 대비).
4. 구간별 함수는 연속성을 먼저, 미분가능성을 다음에 확인하세요. 경계의 함수 조건과 기울기 조건을 별도 줄에 적으세요(10·14·15·18번 대비).
5. 접선과 실근 개수를 중근 및 교점으로 읽는 연습을 하세요. 대칭성과 평균변화율로 만든 새 함수도 그래프의 개형부터 확인하세요(5·6·11·16·17번 대비).
6. 연속함수의 실근 존재 논증과 구간 전체의 부등식을 마무리하세요. 적용 구간의 연속성, 양끝 부호, 경계와 내부 극점의 비교를 근거로 남기세요(20·21번 대비).