성덕고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

성덕고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

성덕고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 집합, 원의방정식, 도형의이동, 절대부등식, 명제, 평면좌표입니다. 집합의 연산과 논리 관계를 정확히 다루는 능력에 더해 좌표 도형을 식으로 해석하는 능력을 함께 확인합니다.

초반에는 여집합과 차집합, 원의 표준형, 부분집합의 개수처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 배치되어 있습니다. 이어 접선과 원의 위치 관계, 현의 길이, 대칭이동한 점의 위치처럼 서로 다른 성질을 연결해야 합니다. 공식을 기억하는 것과 그 공식을 적용할 대상을 정하는 것을 구별해 연습하세요.

후반에는 거리의 합을 도형으로 바꾸거나 자연수 조건으로 집합의 후보를 제한하는 문제가 나옵니다. 서술형에서도 집합 연산의 근거와 부등식의 성립 조건을 설명해야 합니다. 풀이가 짧아 보여도 왜 그 값이 극값이 되는지, 그 조건이 실제로 가능한지까지 확인하는 시험입니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 후 후반 조건 검토

쉬움 문항은 집합 연산과 원의 표준형, 필요조건 판단에 걸쳐 있습니다. 18번도 자동 분류 기준 쉬움이므로 서술형이라는 이유만으로 마지막에 미룰 필요는 없습니다. 다만 집합의 원소 개수를 구할 때 어느 영역을 빼는지 근거를 써야 하므로 계산 결과만 적는 연습으로 끝내지 마세요.

보통 문항은 초반과 중반에 분산되어 있습니다. 특히 11번은 현의 길이를 중심과 직선 사이의 거리로 바꾸고 기울기 조건으로 연결해야 하므로 단계가 있습니다. 12번에서 막혔더라도 13·14번으로 이어 가며 풀이 가능한 문제를 확보하는 운영이 필요합니다.

어려움은 객관식 후반과 서술형 끝부분에 집중됩니다. 집합의 경우 분류, 반례 검토, 최적화의 등호 조건처럼 계산 전후의 논리가 중요합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없으며, 각자 풀이가 지연된 단계도 함께 기록하세요.

출제 단원 — 집합의 비중과 최적화의 연결

집합은 단순 연산부터 조건이 있는 부분집합의 개수, 실생활의 원소 개수, 서로소 조건과 반례 판단까지 폭이 넓습니다. 1·6·8·18번에서 영역을 정확히 읽는 기본기를 만든 뒤, 16·17번에서 원소의 성질과 포함 관계를 따지는 방식으로 확장하세요. 많이 나온 단원이라는 이유로 계산형만 반복하면 후반의 논리 부담을 놓치기 쉽습니다.

원의방정식과 도형의이동은 거리·기울기·넓이와 연결됩니다. 접선이나 현을 만나면 중심에서 직선에 내린 수선을 먼저 그려 보고, 이동 문제는 이동한 점과 도형의 방정식을 구별하세요. 명제에서는 진리집합의 포함 방향을 정확히 정하는 것이 우선입니다.

절대부등식과 평면좌표는 최댓값·최솟값이라는 공통 주제로 연결됩니다. 14번의 도형 조건은 길이 사이의 관계로, 15번의 근호식은 거리의 합으로 바꿀 수 있습니다. 19·20번까지 대비하려면 식을 변형하는 이유와 극값이 실현되는 위치를 함께 설명하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강동구의 단원 구성과 어려움 비율

같은 2023학년도 1학년 2학기 중간고사 수학(하)를 치른 강동구 이웃 학교들의 평균은 총 23.7문항, 서술·단답 5.0문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 42%입니다. 성덕고는 총 20문항, 서술·단답 3문항이며 어려움 비율은 30%로 이 평균보다 낮습니다. 어려움 비율 순위는 7개교 중 6위입니다.

가장 많은 단원은 성덕고와 광문고등학교·한영외국어고등학교·동북고등학교가 집합으로 같습니다. 한영고등학교는 원의방정식, 배재고등학교는 절대부등식, 둔촌고등학교는 도형의이동이 중심입니다. 가장 많은 단원이 같더라도 세부 문항의 풀이 구조까지 같다고 볼 수는 없습니다.

성덕고 대비에서는 집합 기본형의 정확성을 먼저 높이고, 집합의 후보 검토와 부등식·거리 최적화로 학습을 이어 가세요. 지역의 어려움 비율만 보고 연습 강도를 낮추기보다 16·17번의 논리 판단과 19·20번의 서술 근거를 직접 완성하는 것이 중요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 변형으로 후보나 하한을 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아와 실제 성립 여부를 검토한다는 점입니다. 계산을 마친 직후 조건 확인을 별도 문장으로 적는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 집합의 기본 연산과 표준형이 바로 보이는 문제를 먼저 확보하세요. 11·12번에서 거리식이나 부등식의 형태가 잡히지 않으면 표시하고 다음 문제로 이동하는 연습이 필요합니다. 서술형 18번을 미리 살펴보고 풀이 근거를 적을 여유도 남겨 두세요.

조건 검토는 문제 유형에 맞추어 하세요. 5번은 접하는 경우를 포함하는지, 9번은 진리집합의 끝점과 포함 방향이 맞는지 확인하세요. 13번은 기울기의 분모, 14번은 반쪽 길이와 전체 길이, 16번은 서로소 조건을 점검하면 계산 실수와 조건 누락을 구별할 수 있습니다.

서술형 19·20번에는 극값을 보장하는 근거를 남겨야 합니다. 19번은 치환한 변수의 양수 조건과 분모의 부호를, 20번은 중점과 원의 위치 관계를 먼저 적으세요. 마지막에는 등호 조건이 원래 정의역이나 원 위의 점이라는 제한에 맞는지 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 연산을 벤 다이어그램과 말로 각각 표현하세요. 차집합·여집합과 정확히 하나인 영역을 구별하고, 개수 계산의 근거를 연산식으로 남기세요(1·6·8·18번 대비).
2. 포함·제외가 정해진 부분집합부터 조건이 있는 원소 구성으로 확장하세요. 자연수 후보를 제한한 뒤 서로소를 검사하고, 항상 성립하는 주장에는 반례도 찾아보세요(3·16·17번 대비).
3. 명제를 진리집합의 포함 관계로 바꾸세요. 필요조건과 충분조건의 방향을 말로 설명한 뒤 대우와 구간 끝점을 함께 확인하세요(7·9번 대비).
4. 원의 표준형, 접선, 현을 거리 개념으로 연결하세요. 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 그림에 표시하고 수직선의 가능성도 확인하세요(2·5·11번 대비).
5. 평행이동과 대칭이동을 좌표로 정리하세요. 점의 이동과 도형 방정식의 대입을 구별한 뒤 기울기·넓이·경로 최소화로 이어 가세요(4·10·13·15번 대비).
6. 도형의 길이·넓이 조건을 부등식에 맞는 식으로 바꾸세요. 치환의 정의역과 등호 조건을 함께 쓰고, 중선정리로 거리 제곱 합을 정리하는 연습까지 하세요(12·14·19·20번 대비).