성덕고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

성덕고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

성덕고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 다항식의 정리와 곱셈공식, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 이차함수 및 이차부등식의 조건입니다. 식 계산에서 출발해 그래프와 도형을 해석하는 문제까지 이어집니다.

초반에는 허수부분, 특정 문자에 대한 내림차순, 나머지정리처럼 정의와 기본 원리를 묻습니다. 이후에는 같은 개념을 조건 속에서 다시 판단해야 합니다. 복소수에서는 실수에서 쓰던 성질의 적용 범위를, 항등식에서는 전개보다 효율적인 대입 지점을 찾는 능력을 확인합니다.

후반은 이차함수의 여러 활용을 이어서 처리하는 구간입니다. 접한다는 조건, 움직이는 점의 위치, 구간과 축의 관계가 서로 다른 방식으로 식에 반영됩니다. 서술·단답형에서는 식을 세운 이유와 조건 확인 과정을 함께 정리하는 것이 중요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 기본 용어와 정리의 적용을 확인하는 문항입니다. 다만 5번은 두 방정식의 근이 연결돼 있어 근과 계수의 관계를 차례로 적용해야 합니다. 쉬움이라는 분류를 보고 조건을 생략하지 말고, 합과 곱의 부호까지 정확히 기록하세요.

보통 구간에는 접선의 판별식, 공통부분 치환, 켤레복소수 명제 판정, 제한된 범위의 최대·최소가 포함됩니다. 익숙한 공식만 대입하기보다 어떤 식에 그 공식을 적용할지 결정해야 하는 문항들입니다. 18번은 서술형에서도 먼저 접근할 만한 조건 정리 문항입니다.

어려움은 6·10·12번처럼 중간에도 섞여 있고 14~17번에 연속 배치됩니다. 번호순으로 난도가 일정하게 올라가지는 않습니다. 앞에서 막힌 문항에 머무르기보다 다음 문항의 출발점을 확인하고, 서술·단답형까지 살핀 뒤 돌아오는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 이차함수 중심, 식의 구조 파악도 중요

가장 많은 이차함수는 접점 조건과 최대·최소를 중심으로 구성됩니다. 7번의 판별식은 15번의 매개변수 접선 조건으로 확장되고, 11번의 범위 확인은 17번의 구간 이동 문제를 준비하는 바탕이 됩니다. 서로 연결해 풀되, 각 문항에서 변하는 대상이 무엇인지를 구분하세요.

다항식과 항등식은 식의 모양을 읽는 능력이 중요합니다. 8번은 공통부분을 만드는 묶음, 12번은 여러 인수를 동시에 없애는 대입, 14번은 곱셈공식의 반복 적용이 중심입니다. 무조건 전개하면 계산량이 늘어나므로 먼저 인수와 반복 구조를 표시하는 연습이 효율적입니다.

복소수에서는 정의 확인과 성질의 성립 조건을 함께 다룹니다. 이차방정식에서는 근과 계수의 관계 외에도 정수 조건을 활용하는 10번에 주의해야 합니다. 여러가지부등식은 18번에 배치되어 그래프의 위치 관계를 엄격한 부등식으로 옮기는 능력을 확인합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강동구의 같은 시험 범위

2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 강동구 학교들과 견주면, 성덕고는 총 20문항으로 이웃 학교 평균 21.3문항보다 적고 서술·단답형도 3문항으로 평균 4.3문항보다 적습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움 비율은 45%로 이웃 학교 평균 34%보다 높습니다.

어려움 비율 순위는 7개교 중 1위이며, 배재고등학교도 45%입니다. 가장 많은 단원은 성덕고와 동북고등학교·광문고등학교·배재고등학교에서 이차함수이고, 나머지 이웃 학교에서는 다항식입니다. 같은 지역의 시험이라도 주력 단원이 다르므로 문제 수만으로 학습 비중을 정하지 마세요.

성덕고 대비에서는 이차함수의 접선과 제한된 범위의 최대·최소를 충분히 연습하는 편이 좋습니다. 서술·단답형 수가 상대적으로 적어도 나머지의 구성과 그래프 조건을 연결하는 과정은 필요합니다. 풀이를 짧게 압축하기에 앞서 조건에서 식으로 넘어가는 근거를 문장으로 써 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 조건을 그대로 계산하기 전에 적절한 표현을 정해야 한다는 것입니다. 접선은 항등식으로, 구간은 축과의 위치 관계로, 나머지는 차수가 제한된 식으로 바꾸면 풀이 방향이 드러납니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 중 이러한 사고 전환이 필요한 문항을 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·3·5번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 보통 문항 중 시작 방법이 보이는 것부터 풀어 시간을 확보하세요. 6번에서 부호가 정리되지 않거나 10번에서 정수 조건을 활용할 방법이 보이지 않으면 현재까지의 조건을 적어 두고 이동하는 편이 좋습니다. 같은 계산을 반복하는 동안 시간이 소모되는지 점검하세요.

객관식 14~17번은 모두 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 이 구간을 전부 마친 뒤에야 서술형을 보겠다는 계획은 피하고, 18번의 부등식 조건과 19·20번의 식 설정을 미리 확인하세요. 서술형에는 결과뿐 아니라 조건의 식 변환과 후보 검토를 적을 시간을 남겨 두어야 합니다.

마지막 점검에서는 6번의 제곱근과 절댓값 내부 부호, 10번의 정수 인수쌍, 11번의 치환 후 범위, 17번의 축과 구간 경계를 확인하세요. 18번의 항상 위쪽이라는 조건은 접하는 경우를 허용하지 않습니다. 20번에서는 교점의 가로좌표를 구하는 방정식과 최종적으로 근의 곱을 묻는 방정식을 구별해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의와 기본 정리를 먼저 복습하세요. 허수부분, 특정 문자에 대한 차수, 나머지정리, 근과 계수의 관계를 짧은 풀이로 정확히 설명하는 연습입니다(1·2·3·5번 대비).
2. 복소수의 성질에 적용 조건을 붙이세요. 실수가 되는 조건, 음수의 제곱근, 켤레복소수의 합과 곱을 구분하고 성립하지 않는 명제는 반례로 확인하세요(4·6·9번 대비).
3. 전개 전 식의 구조를 찾으세요. 공통부분 치환, 곱셈공식의 연속 적용, 인수를 없애는 대입을 묶어 연습하고 어떤 방법을 고른 이유를 적으세요(8·12·14번 대비).
4. 판별식과 근과 계수의 관계를 조건에 맞게 사용하세요. 접함·중근·항상 위쪽을 구별하고, 정수 조건이나 모든 매개변수 값이라는 조건을 추가로 반영하세요(7·10·13·15·18번 대비).
5. 제한된 범위의 최대·최소를 집중 연습하세요. 치환 후 범위를 구하고, 움직이는 점을 식으로 표현하며, 축과 구간의 위치에 따라 끝점과 꼭짓점을 비교하세요(11·16·17번 대비).
6. 서술형은 식을 정한 이유까지 작성하세요. 나머지의 차수와 주어진 나머지 조건을 보존하는 표현, 교점 조건과 근의 관계를 구분해 답안을 완성하세요(19·20번 대비).