운천고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

운천고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

운천고등학교는 경기 오산시에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수의 뜻과 일대일함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수 개념의 이해와 그래프 해석, 조건에 맞는 경우를 세는 능력을 함께 확인합니다.

기본 정의를 알고 있다고 해서 모든 문항이 짧게 끝나는 시험은 아닙니다. 함수의 그래프를 좌표 대응으로 읽거나, 대칭 관계를 역함수로 해석하고, 제한된 구간에서의 성질을 따져야 합니다. 순열조합도 기호 계산에 머물지 않고 경로·색칠·과목 선택 상황의 조건을 정리하도록 요구합니다.

객관식 뒤에 놓인 19·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 19번은 선택 조건을 나눠 세는 과정이, 20번은 서로 다른 함수 그래프의 움직임을 비교하는 과정이 중요합니다. 객관식을 순서대로 끝까지 붙드는 방식보다 풀이가 보이는 문항을 확보하고 후반부 검토 시간을 남기는 운영이 적절합니다.

난이도 분포 — 어려움이 절반이며 후반에 연속 배치

쉬움으로 분류된 1·3·6·9번은 합성함숫값, 합의 법칙, 순열·조합 기호, 항등함수와 상수함수를 다룹니다. 계산을 시작하기 전에 적용할 정의를 짚으면 풀이를 짧게 정리할 수 있습니다. 다만 기호를 익숙하게 본다는 이유로 합성 순서나 자연수 조건을 생략하지 마세요.

보통 문항에서도 그래프를 읽거나 조건을 번역하는 과정이 필요합니다. 5번은 역함수 그래프에서 원래 함수의 대응을 복원하고, 13번은 정의역의 선택이 일대일성에 미치는 영향을 판단합니다. 15번의 배열 조건도 묶음으로 세는 것과 제외할 경우를 구분해야 합니다.

어려움은 4번에 먼저 나타나고, 중반의 10~12번을 거쳐 16~20번으로 이어집니다. 번호가 커질수록 계산만 길어지는 형태가 아니라 대칭, 홀짝, 공통 선택 조건처럼 판단의 종류가 바뀝니다. 앞 문항의 풀이 방식을 그대로 적용하려 하지 말고 각 문항의 핵심 조건을 새로 표시하세요.

출제 단원 — 순열조합이 가장 많고 무리함수에도 고난도 배치

순열조합에서는 같은 공식을 반복하는 대신 서로 다른 상황을 다룹니다. 3·6번의 기본기를 바탕으로 11번은 경로 선택, 12번은 영역 사이의 인접 관계, 15번은 이웃함과 이웃하지 않음을 정리합니다. 19번까지 대비하려면 무엇을 먼저 선택하고 무엇을 나중에 선택할지 문장으로 설명하는 연습이 필요합니다.

무리함수의 14·18·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 정의역과 치역을 확인하는 데서 나아가 역함수의 제한 조건, 대칭을 이용한 도형 해석, 유리함수와의 교점 판단으로 확장됩니다. 식 변형 전에 시작점과 그래프가 뻗는 방향을 그려 두면 여러 조건을 함께 관리하기 쉽습니다.

유리함수에서는 점근선과 대칭 중심을 출발점으로 삼아야 합니다. 합성함수와역함수 단원도 함숫값 계산뿐 아니라 그래프의 겹침을 다룹니다. 단원별 문제집을 따로 끝내는 것에 더해, 같은 대칭 관계가 서로 다른 함수에서 어떻게 쓰이는지 연결해서 복습하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 오산시의 같은 시험 조건에서

같은 2023학년도 1학년 2학기 기말 수학(하)를 치른 오산시의 성호고등학교·오산운암고등학교와 견주면, 운천고는 문항 수가 적지만 자동 분류 기준 어려움 비율은 높습니다. 이웃 학교 평균은 총 23.5문항, 서술·단답형 1.0문항, 어려움 비율 30%이며 운천고의 어려움 비율은 50%로 3개교 중 1위입니다.

가장 많이 출제된 단원은 모두 순열조합입니다. 이 공통점만으로 세부 유형이나 풀이 부담까지 같다고 볼 수는 없습니다. 운천고 학생은 경우의 수의 기본 계산뿐 아니라 색칠의 인접 관계와 공통 선택 조건을 정리하는 연습을 하고, 서술·단답형에 풀이 근거를 적을 시간을 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 이용자 투표로 난이도 순위가 확정된 문항은 아닙니다. 분석상 고난도 문항으로 살펴볼 이유는 여러 조건을 동시에 유지해야 하기 때문입니다. 계산을 시작하기 전에 적용 범위와 경우를 나누는 기준을 짧게 적는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1·3·6·9번처럼 개념과 기본 계산이 중심인 문항에서 시간을 아끼세요. 4번에서 대칭 중심을 찾지 못해 막히면 표시하고 다음 문항으로 이동하는 편이 좋습니다. 초반 번호라는 이유로 반드시 빨리 풀어야 한다고 생각하지 말고, 풀이의 출발점이 보이는지를 기준으로 진행하세요.

10~12번에서 시간이 늘어질 수 있으므로 서술·단답형 19·20번을 확인할 여유를 남기세요. 19번은 경우를 나누는 틀을, 20번은 정의역과 그래프의 변화 방향을 먼저 기록해 두면 다시 돌아왔을 때 생각을 이어가기 쉽습니다. 풀이를 마친 문항도 최종 계산만 확인하지 말고 조건을 어디에 반영했는지 점검하세요.

함수 문항에서는 역함수의 정의역, 제곱하기 전의 부호, 구간 경계의 포함 여부를 표시하세요. 경우의 수에서는 서로 다른 경우를 더하는지 연속된 선택을 곱하는지 구별하고, 색칠이나 과목 선택에서 앞선 선택이 뒤의 선택 수를 바꾸는지 확인하세요. 이 조건들을 풀이 옆에 남기면 검토할 지점도 명확해집니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의부터 정리하세요. 입력마다 출력이 정해지는 조건, 항등함수와 상수함수, 정의역 제한에 따른 일대일성을 설명해 보세요(2·9·13번 대비).
2. 합성과 역함수의 대응을 표와 그래프로 오가며 연습하세요. 합성 순서를 유지하고 구간별 그래프를 대칭이동해 겹치는 부분까지 확인하세요(1·5·16번 대비).
3. 유리함수는 점근선·대칭 중심·축과의 교점 순서로 정리하세요. 대칭 조건에서 식을 찾고 제한된 구간의 증가·감소까지 판단하세요(4·8·10번 대비).
4. 무리함수는 시작점과 정의역·치역을 먼저 표시하세요. 역함수와 도형의 대칭, 다른 함수와의 교점 개수를 그래프로 설명해 보세요(7·14·18·20번 대비).
5. 순열조합의 기호를 기본으로 합의 법칙과 곱의 법칙을 구분하세요. 경로와 배열에서는 선택 단계를 나누고 묶음 내부 순서를 확인하세요(3·6·11·15번 대비).
6. 조건이 얽힌 경우의 수를 서술로 마무리하세요. 색의 같고 다름과 공통 과목의 종류를 분류 기준으로 정하고, 중복 없이 모두 세었는지 설명하세요(12·17·19번 대비).