성호고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

성호고 고1 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

성호고등학교는 오산시에 있습니다. 이 시험은 순열과 조합, 함수의 뜻과 일대일성, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수를 다룹니다. 객관식 중심이지만 21번에서는 점근선을 찾아 도형의 넓이로 연결하는 과정을 직접 서술해야 합니다.

초반에는 순열과 곱의 법칙, 합성함수의 함숫값, 항등함수와 상수함수 등 출발점을 확인합니다. 중간부터는 그래프에서 읽은 정보를 다른 함수에 적용하거나, 선택과 분할의 조건을 경우의 수로 바꾸는 문제가 나타납니다. 공식만 기억하는 상태에서 조건을 해석하는 단계로 넘어갈 수 있는지가 중요합니다.

후반에는 단원 사이의 연결도 나타납니다. 17번은 조합의 식을 다항식의 차수 조건과 연결하고, 20번은 일대일함수의 개수를 조합적으로 셉니다. 22번에서는 무리함수와 역함수의 대칭성에 도형의 닮음까지 더해지므로, 문제의 겉모양보다 연결되는 개념을 찾는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 적용에서 후반 조건 해석으로

비중은 전체 문항 수에 대한 반올림 값이며, 난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서는 개념의 정의를 정확히 적용하는 것이 우선입니다. 다만 5번의 대칭이동과 9번의 감소하는 무리함수처럼 방향이나 부호를 잘못 읽으면 기본 문항에서도 실수할 수 있습니다.

보통 구간은 정보를 정리하는 단계가 더 필요합니다. 7번은 그래프에서 역함수의 입력과 출력을 추적하고, 11번은 대칭축에서 유리함수의 중심을 알아내며, 15번은 팀을 구성할 때 생기는 중복을 제거합니다. 계산식을 쓰기 전 무엇이 구별되는지를 확인하세요.

어려움은 14번부터 나타나며 후반에 집중됩니다. 역함수의 그래프를 원래 함수로 돌려 보는 발상, 자리 사이의 관계에 따른 경우 나누기, 함수 조건의 연속적인 변형이 필요합니다. 뒤쪽에서도 21번은 자동 분류 기준 보통이므로, 순서대로 오래 붙잡기보다 풀이의 출발점이 보이는 문항을 먼저 확보하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

순열조합은 단순히 공식을 고르는 유형만 나오지 않습니다. 경로를 구간으로 나누는 10번, 홀짝에 따라 선택을 나누는 12번, 이름 없는 팀의 중복을 처리하는 15번처럼 세는 대상을 먼저 정해야 합니다. 16번은 앞에서 정한 숫자가 뒤 자리의 선택 수에 영향을 주므로 일괄적으로 곱하기 어렵습니다.

함수 단원은 문항 수만큼이나 배치가 중요합니다. 4번은 기본 정의를 확인하지만 18·19·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 구간별 치역의 겹침, 이동한 입력 사이의 관계, 서로 다른 원소의 대응을 각각 다루므로 함수 학습을 그래프 계산에만 한정하지 마세요.

유리함수와 무리함수는 그래프의 중심·점근선·시작점·정의역을 공통 언어로 묶어 복습하면 좋습니다. 13번에서는 유리함수에서 얻은 계수 정보를 무리함수에 사용합니다. 단원별 대표 문제를 푼 뒤 같은 정보가 다른 함수에서 어떤 뜻을 갖는지 설명해 보세요.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 개념과 풀이를 시작할 지점, 확인해야 할 조건을 정리했습니다.

같은 지역 학교와 비교 — 오산시의 함수·경우의 수 대비

같은 2023학년도 고1 2학기 기말 수학(하)을 치른 오산시 이웃 학교들의 평균은 총 22.5문항, 서술·단답형 1.5문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 39%입니다. 성호고는 문항 수와 서술·단답형 수가 이 평균보다 적고, 어려움 비율도 낮습니다. 어려움 비율 순위는 3개교 중 2위입니다.

가장 많이 출제된 단원은 이웃 학교들도 순열조합입니다. 다만 최다 단원이 같다는 사실만으로 세부 유형이나 풀이 부담까지 같다고 보기는 어렵습니다. 성호고 학생은 순열조합의 기초를 확보한 뒤, 이 시험에서 후반에 이어지는 함수 조건 해석과 마지막 무리함수의 대칭·도형 연결을 따로 연습하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 여기서는 풀이의 연결 단계를 기준으로 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 계산에 들어가기 전 그래프나 범위의 구조를 정해야 한다는 것입니다. 식을 정리한 뒤에도 처음의 정의역·치역·부호 조건으로 돌아오는 검산이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반 기본 문항에서는 합성의 순서, 그래프 이동 방향, 선택 단계처럼 확인할 지점을 짧게 표시하고 넘어가세요. 6·7번에서 풀이가 막히더라도 뒤의 8·9번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 먼저 해결할 수 있습니다. 연습할 때는 처음 읽고 핵심 관계를 세우기까지 걸린 시간을 기록해 보세요.

후반의 어려움 문항에서는 식이 길어진다는 이유만으로 계속 계산하지 말고, 경우를 나누는 기준이나 대칭 관계를 찾았는지 점검하세요. 21번 서술·단답형은 마지막 객관식 앞에 있습니다. 22번을 풀기 전에 점근선과 변 길이의 근거까지 작성해 둘 시간을 확보하는 것이 좋습니다.

검토할 때는 15번의 팀 간 중복, 16번의 자리별 선택 수 변화, 18번의 치역 경계, 19번의 입력 이동 방향, 22번의 제곱 전 부호를 우선 확인하세요. 서술 답안에서는 계산 결과만 남기지 말고 어떤 직선이 경계인지와 왜 좌표 차가 길이가 되는지를 적어 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 정의와 직접 대입부터 정리하세요. 순열·곱의 법칙과 합성 순서, 항등함수·상수함수를 말로 설명한 뒤 짧은 계산을 연결하세요(1·2·3·4·8번 대비).
2. 함수 그래프의 정보를 읽는 연습을 하세요. 점근선·대칭 중심·시작점·증감 방향을 먼저 표시한 뒤 정의역과 치역을 적으세요(5·6·9·11·13·21번 대비).
3. 경우의 수는 분류 기준과 중복 확인을 함께 훈련하세요. 경로의 분기, 홀짝 선택, 팀 분할, 자리의 일치 여부를 나누어 적어 보세요(10·12·15·16번 대비).
4. 합성·역함수는 입력과 출력의 흐름 및 그래프 대칭을 연결하세요. 역함수 식을 구하는 방법 외에 좌표를 거꾸로 읽는 방법도 연습하세요(7·14·22번 대비).
5. 복합 조건을 하나씩 소거하고 남는 관계를 설명하세요. 조합식의 최고차항, 구간별 치역, 정수 입력의 이동, 일대일 대응의 배치를 따로 정리하세요(17·18·19·20번 대비).
6. 마지막에는 풀이 근거를 짧게 쓰는 연습을 하세요. 점근선에서 넓이로 가는 과정과 대칭에서 닮음으로 가는 과정을 설명한 뒤 원래 조건으로 검산하세요(21·22번 대비).