운천고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

운천고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

운천고등학교는 경기 오산시에 있습니다. 이 시험은 집합, 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합을 다룹니다. 객관식만으로 구성됐지만 개념의 뜻을 확인하는 문제와 조건을 여러 단계로 해석하는 문제가 함께 있습니다.

초반에는 상수함수, 합성함숫값, 정의역과 평행이동 등 출발점이 분명한 문항이 나옵니다. 반면 후반에는 일대일대응의 치역, 반복 합성의 주기, 그래프의 교점 개수처럼 식을 세우기 전에 구조를 읽어야 하는 문항이 이어집니다.

따라서 모든 문항을 같은 속도로 풀겠다는 계획은 적절하지 않습니다. 기본 문항에서는 짧고 정확한 풀이를 만들고, 조건이 복합적인 문항에서는 표·대응도·그래프 중 알맞은 도구를 고르는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본 확인과 후반 어려움 구간

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움에 속하는 문항에서도 확인할 조건은 남아 있습니다. 2번은 전개 과정에서 동류항이 생기는지, 6번은 약분 전 분모에서 제외되는 값이 있는지 살펴야 합니다. 익숙한 형태라는 이유로 조건 확인을 생략하지 마세요.

8번은 집합의 원소 선택을 필수 선택과 자유 선택으로 나누고, 11번은 유리함수 그래프의 정보를 무리함수 그래프로 옮깁니다. 보통 구간은 계산량보다 서로 다른 표현을 연결하는 능력을 확인합니다.

10번 이후에는 역방향 대응을 읽거나 제한 조건에 따라 경우를 나누는 부담이 커집니다. 특히 12~20번은 모두 어려움으로 분류되므로, 번호 순서에 매이지 말고 풀이 방향이 보이는 문항부터 해결하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수 및 순열조합 중심

가장 많이 나온 합성함수와역함수는 기본 대입에서 그래프 해석까지 폭이 넓습니다. 3·5번을 풀 수 있다고 학습을 마치지 말고, 10번의 역방향 추적, 13번의 반복 대응, 19번의 치환 후 원래 변수 복원까지 이어서 연습해야 합니다.

순열조합은 곱의 법칙과 합의 법칙을 확인한 뒤 조건이 있는 배열로 확장됩니다. 12번에서는 자리별 제한이 서로 영향을 주며, 16·18번에서는 먼저 정한 배치에 따라 남은 선택지가 달라집니다. 공식을 고르기 전에 경우를 나누는 기준을 적는 습관이 중요합니다.

함수 단원은 일대일대응을 경우의 수와 치역 조건으로 연결합니다. 유리함수 20번도 무리함수의 정의 조건과 역함수의 대칭성을 함께 사용하므로, 단원별 문제 풀이 뒤에는 개념을 연결하는 복습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 기본 구간은 확대

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수와 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같습니다. 올해는 서술·단답형이 없어지고 쉬움이 늘었지만, 어려움 문항이 줄어든 것은 아니므로 형식 변화만으로 시험 전체가 수월해졌다고 판단하기는 어렵습니다.

합성함수와역함수는 작년 3문항에서 올해 6문항으로 늘었고 순열조합은 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 작년에는 4번부터 어려움 문항이 있었으나 올해는 10번부터 시작해 후반에 집중됩니다. 기본 문제를 정확히 처리한 뒤 합성·역함수의 그래프와 범위 해석을 강화하는 준비가 적합합니다.

같은 지역 학교와 비교 — 오산시의 어려움 비율과 단원 차이

같은 2024학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 오산시 이웃 학교들의 평균은 총 22.3문항, 서술·단답 1.7문항, 어려움 비율 37%입니다. 운천고는 문항 수가 이 평균보다 적고 서술·단답형이 없지만, 자동 분류 기준 어려움 비율은 50%로 더 높습니다. 어려움 비율 순위는 4개교 중 1위이며 성호고와 비율이 같습니다.

최다 출제 단원은 오산고가 순열조합, 오산운암고가 유리함수, 성호고가 함수로 서로 다릅니다. 운천고 학생은 합성함수와역함수를 우선하되, 경우의 수와 일대일대응도 함께 준비해야 합니다. 문항 수가 적다는 이유로 한 문제의 검토 시간을 줄이기보다 조건 해석의 정확성을 높이는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간에 얻은 관계를 다음 단계로 옮기고 마지막에 범위를 재확인해야 합니다. 식을 길게 전개하기보다 그래프와 조건표로 풀이의 구조를 유지하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본 문항을 정확히 해결해 후반에 사용할 시간을 확보하세요. 8번처럼 선택 구조를 나누어야 하는 문항이나 10번의 역방향 추적에서 방향이 보이지 않으면 표시하고 넘어가세요. 11번까지 확인한 뒤 후반에서 자신 있는 유형을 고르는 방식이 좋습니다.

경우의 수에서는 12번의 첫 자리와 끝자리 제한, 14번의 겹치는 금지 조건, 16번의 상대적인 위치, 18번의 남은 수령인을 확인하세요. 막연히 다시 세기보다 각 경우가 겹치지 않는지와 전체를 빠짐없이 포함하는지를 검토하면 효율적입니다.

함수에서는 6번의 약분 전 정의역, 15번의 치역 경계, 17번의 구간별 교점, 19번의 치환 범위를 마지막 검토 대상으로 삼으세요. 실제 시험 시간을 정해 연습할 때는 재검토 시간을 별도로 남기고, 계산을 반복하기보다 처음 적은 조건과 최종 후보를 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 기본 뜻과 대입 순서를 먼저 정리하세요. 상수함수 구별, 역함숫값의 의미, 안쪽부터 합성하는 과정을 짧게 설명해 보세요(1·3·5번 대비).
2. 정의역과 그래프 이동을 복습하세요. 약분 전 제외값, 점근선, 시작점, 계수 부호를 그림 옆에 기록하는 연습이 필요합니다(6·7·9·11번 대비).
3. 합의 법칙과 곱의 법칙에서 조건부 배열로 확장하세요. 자리별 제한과 여사건을 표로 정리하고 수형도로 누락을 검토하세요(2·4·8·12·16·18번 대비).
4. 일대일대응을 유한집합의 배치와 구간별 치역으로 나누어 학습하세요. 중복되는 금지 조건과 경계의 포함 여부를 확인하세요(14·15번 대비).
5. 대응도와 그래프를 이용한 반복 합성 및 역방향 추적을 연습하세요. 출발점에 따른 주기와 역으로 이동하는 순서를 구별하세요(10·13번 대비).
6. 구간별 그래프, 합성식 치환, 대칭성과 최솟값을 묶어 복습하세요. 중간 후보를 얻은 뒤 원래 범위로 돌아오는 검토 과정을 풀이에 남기세요(17·19·20번 대비).