대륜고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

대륜고 2학년 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

대륜고등학교는 대구 수성구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 그래프의 연속성을 읽는 기본 개념에서 접선, 롤의 정리, 평균값 정리까지 이어집니다.

극한식은 단순한 대입 계산에 그치지 않습니다. 분모가 영으로 가는 상황에서 함수값 조건을 먼저 얻거나, 함수값의 차를 미분계수의 정의에 맞추는 과정이 반복됩니다. 무한대에서의 극한으로 다항식의 차수를 제한하는 접근도 필요합니다.

연속성 문항에서는 절댓값, 함수의 곱, 교점 개수를 나타내는 함수처럼 표현이 달라집니다. 익숙한 공식을 떠올리는 것에 더해 구간과 경계에서 실제로 어떤 값이 이어지는지 확인해야 합니다. 서술·단답형에서는 접점 설정과 경계 조건을 풀이의 출발점으로 분명히 적어 보세요.

난이도 분포 — 중반의 조건 변환과 마지막 구간의 연결

쉬움으로 분류된 1·3·14번은 그래프의 극한과 연속, 접선 기울기, 도함수로 계수를 정하는 기본형입니다. 앞부분에만 배치된 것이 아니므로 순서대로 풀다가 막혀도 뒤의 기본형을 살펴볼 필요가 있습니다. 보통 문항에서도 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 연결하는 정확성이 요구됩니다.

8·10번에서는 항등식과 여러 극한 조건을 미분 정보로 바꾸고, 12·13번에서는 해의 위치와 함수가 바뀌는 경계를 나누어야 합니다. 마지막 18·19·20번은 그래프나 도형을 식으로 옮긴 다음 연속·극한·미분가능성을 적용하는 구조입니다.

난이도는 자동 분류 기준입니다. 이 분포만으로 학생 개인의 체감 난도를 확정할 수는 없습니다. 다만 조건을 정리하는 데 시간이 걸리는 문항이 여러 위치에 있으므로, 식이 바로 보이는 문제를 먼저 풀고 복잡한 문항으로 돌아오는 운영을 연습하세요.

출제 단원 — 미분계수와 도함수를 중심으로 극한·연속 연결

미분계수와도함수는 3·4·6·7·8·10·14·20번입니다. 미분 공식만 반복하기보다 극한식에서 미분계수를 찾아내는 연습에 무게를 두세요. 4·7번은 함수값을 먼저 확보한 뒤 곱의 미분법을 적용하고, 6번은 치환과 증분의 비율을 함께 처리합니다.

함수의연속에서는 원래 함수와 절댓값을 취한 함수, 두 함수를 곱한 함수를 구별해야 합니다. 13·18번처럼 개별 함수의 불연속이 곱에서 어떻게 달라지는지 살피는 유형을 준비하세요. 함수의극한은 값의 관계, 도형의 넓이, 다항식의 차수, 접선과 원의 관계로 표현이 넓어집니다.

도함수의활용은 5번의 롤의 정리 증명, 12번의 평균값 정리, 15번의 외부점에서 그은 접선입니다. 정리의 이름을 기억하는 데서 끝내지 말고 부등호의 방향, 해가 속할 열린구간, 주어진 점과 접점의 차이를 설명할 수 있어야 합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 수성구의 같은 수학II 중간고사

2025학년도 2학년 1학기 중간고사 수학II를 치른 수성구 학교들을 함께 보면, 총 문항 수는 평균 22.2문항, 서술·단답형은 평균 4.8문항입니다. 대륜고는 총 20문항과 서술·단답형 3문항으로 두 수치 모두 이 평균보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 35%로, 평균 46%보다 낮으며 5개교 중 4위입니다.

가장 많은 단원은 대륜고와 대구여자고등학교, 대구남산고등학교가 미분계수와도함수로 같습니다. 경북고등학교는 도함수의활용, 경신고등학교는 함수의극한이 가장 많습니다. 대륜고 대비에서는 차분몫 해석과 도함수 계산을 중심에 두되, 18·19번처럼 연속과 도형 극한으로 이어지는 유형도 함께 연습하세요. 어려움 비율만으로 각 시험의 풀이 부담을 모두 설명할 수는 없습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이에 필요한 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 그래프나 도형의 의미를 조건식으로 바꾸어야 한다는 것입니다. 스케치, 구간표, 거리 관계를 짧게 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 문항을 우선 해결하세요. 8·10번에서 항등식 변형이나 차수 판단이 길어지면 표시하고 뒤의 기본형을 확인하는 편이 좋습니다. 14번과 15번처럼 후반에도 도함수와 접선의 기본 구조로 시작할 수 있는 문항이 있습니다.

서술·단답형 15·18·20번에 쓸 시간을 따로 남기세요. 15번은 접점 설정, 18번은 경계별 교점 개수, 20번은 연속과 미분가능성 조건을 먼저 적으면 풀이의 방향이 분명해집니다. 연습할 때는 식을 세우는 시간과 계산하는 시간을 구분해 기록해 보세요.

마지막 검토에서는 6·10번의 증분 비율, 11번의 절댓값 부호별 후보, 12번의 열린구간 조건을 확인하세요. 13번은 경계의 순서와 영이 되는 인수, 17번은 약분으로 제외된 지점, 20번은 자연수 조건을 다시 살펴야 합니다. 계산을 처음부터 반복하기보다 누락하기 쉬운 조건을 점검하는 방식이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌우극한과 함수값을 따로 표시해 연속성을 판정하세요. 절댓값을 취했을 때의 연속 조건까지 확장해 보세요(1·11번 대비).
2. 극한의 합과 곱, 인수분해, 차수 비교를 복습하세요. 유한한 지점과 무한대에서 얻는 정보가 어떻게 다른지 정리하세요(2·9·16번 대비).
3. 미분계수의 정의로 돌아가는 변형을 연습하세요. 기준점의 함수값을 더하고 빼며 증분의 비율을 확인한 뒤 곱의 미분법과 연결하세요(4·6·7·8·10번 대비).
4. 접선은 접점과 기울기를 구분해 세우고, 접선에 수직인 직선까지 그려 보세요. 기본 계수 결정에서 외부점과 원의 조건으로 확장하세요(3·14·15·19번 대비).
5. 롤의 정리와 평균값 정리를 조건부터 설명하세요. 극값에서의 차분몫 부호와 구간 안의 해 개수 판단을 함께 연습하세요(5·12번 대비).
6. 경계별 함수값과 좌우극한을 표로 정리하세요. 곱의 연속성, 교점 개수의 변화, 미분가능성에서 필요한 조건을 구별하세요(13·17·18·20번 대비).