이산고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

이산고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

이산고등학교는 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 서로 다른 단원을 별개로 외우기보다 함수의 조건을 그래프와 대응 관계로 해석하는 학습이 필요합니다.

초반에는 조합 기호, 점근선, 대응 관계, 합성함수의 대입처럼 개념을 바로 적용하는 문항이 배치되어 있습니다. 중후반에는 같은 개념을 여러 조건과 연결합니다. 예를 들어 역함수의 존재를 대응의 중복 제한으로 바꾸거나, 치역 조건을 구간별 그래프의 범위로 바꾸어야 합니다.

서술·단답형은 21번이지만 합성함수 구성과 역함수 도출, 역함수의 합성을 연결해 풀이과정을 작성해야 합니다. 문항 수만 보고 마지막에 짧게 처리할 문제로 판단하지 마세요. 객관식의 복잡한 조건을 정리하는 능력과 서술형에서 정의역을 설명하는 능력을 함께 점검하는 시험입니다.

난이도 분포 — 초반 기본 확인 뒤 중후반에 이어지는 어려움

쉬움에 해당하는 1~8번은 기본 개념을 짧은 계산이나 대응 확인으로 마무리하는 구간입니다. 다만 5번의 자연수 조건, 7번의 근호와 분모 조건처럼 식이 성립하는 범위를 확인하는 절차는 필요합니다. 빨리 푸는 것과 조건을 생략하는 것을 구별하세요.

보통인 9번은 색칠에서 같은 색과 다른 색으로 나누는 판단이 필요하고, 11번은 합성함수의 입력을 치환해야 합니다. 21번은 풀이를 설명하는 문항입니다. 이 문항들은 후반의 복잡한 문제를 해결하기 위한 기본 사고를 확인하는 징검다리 역할을 합니다.

어려움인 10번은 함수의 개수와 치역 조건을 결합하며, 12~20번은 역함수의 그래프·반복 합성·경우의 수 등으로 이어집니다. 자동 분류 기준의 난이도이므로 개별 학생의 체감과는 다를 수 있습니다. 자신의 약점이 그래프인지 경우 나누기인지 구분해 복습하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 단원의 연결

가장 많이 나온 순열조합은 기호 계산에서 시작해 자연수 순서쌍, 여사건, 색칠, 자리 배치로 확장됩니다. 15·18번에서는 조건을 만족하는 자리의 형태를 먼저 정한 뒤 실제 대상을 배치해야 합니다. 공식 선택보다 세는 대상과 경우 분류 기준을 적는 연습이 우선입니다.

합성함수와역함수는 대응 그림을 읽는 기본형과 치환, 그래프 교점, 반복 합성이 함께 나옵니다. 12번의 증가성 판단과 13번의 순환 구조는 풀이 방식이 다르므로 역함수 식 구하기만 반복해서는 충분하지 않습니다.

유리함수와 무리함수에서는 점근선·정의역·치역이 서로 연결됩니다. 14번은 구간별 치역을 합쳐야 하고 16·20번은 무리함수와 역함수의 성질을 함께 사용합니다. 함수 단원의 10·19번도 대응의 조건을 다루므로, 일대일함수와 일대일대응의 차이를 먼저 확실히 정리하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 화성시의 같은 조건 시험

2024학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 기준으로 화성시 학교들과 비교하면, 이산고의 총 21문항은 지역 평균 20.8문항과 가깝습니다. 서술·단답형은 1문항으로 지역 평균 1.8문항보다 적습니다. 서술형 수가 적어도 풀이과정을 적을 문항은 별도로 확보해 두어야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 이산고가 48%이며 지역 평균은 51%입니다. 어려움 비율 순위는 5개교 중 2위입니다. 학교마다 문항 구성과 조건 연결 방식이 다르므로 비율만으로 자신의 체감 난도를 예상하기보다 이산고의 후반 문항을 직접 풀어 보는 것이 좋습니다.

예당고등학교·한백고등학교·능동고등학교는 이산고와 마찬가지로 순열조합이 가장 많은 단원이고, 동탄고등학교는 합성함수와역함수가 가장 많습니다. 이산고를 준비할 때는 경우의 수를 우선 점검하되, 반복 합성과 구간별 치역까지 함께 연습해 단원 사이의 준비 공백을 줄이세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 분석상 고난도 문항으로 선정했습니다. 공통점은 조건을 그림이나 구간으로 먼저 정리해야 계산이 시작된다는 것입니다. 계산이 길어질 때는 전개를 계속하기보다 치역의 경계, 남은 자리, 그래프의 전환점을 빠뜨리지 않았는지 먼저 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 문항을 정확하게 처리하고 9·11번처럼 접근이 보이는 문항을 이어 가세요. 10번에서 경우 분류가 정리되지 않으면 표시하고 넘어간 뒤, 다른 문항을 확보한 다음 돌아오는 편이 좋습니다. 초반부터 답을 얻기 위한 계산을 반복하기보다 무엇을 세는지 한 줄로 적어 방향을 확인하세요.

12~20번에 어려움이 이어지므로 번호 순서대로 모두 끝내려는 계획은 시간 부담이 큽니다. 특히 17·20번의 그래프 해석이 막히면 마지막 21번을 먼저 확인하세요. 21번은 식만 적는 것으로 끝나지 않으므로 합성의 순서와 정의역을 설명할 여유를 남겨야 합니다.

검토할 때는 7번의 분모가 영이 되는지, 10번의 치역이 공역 전체를 채우는지, 12번의 교점이 제한된 정의역 안에 있는지를 확인하세요. 15·18번은 자리의 형태를 센 뒤 사람이나 스티커의 구별을 반영했는지, 16·21번은 역함수의 정의역을 원함수의 치역에서 가져왔는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 기호와 대응 읽기부터 점검하세요. 조합의 뜻, 점근선, 합성 순서, 일대일대응을 짧은 문제로 확인하고 잘못 읽은 조건을 기록하세요(1·2·3·4·6번 대비).
2. 경우의 수는 직접 분류와 여사건을 나란히 연습하세요. 자연수 조건과 적어도 조건을 먼저 표시하고, 색칠에서는 같은 색인지에 따라 선택지가 달라지는 이유를 설명하세요(5·8·9번 대비).
3. 함수 조건을 표와 화살표로 바꾸세요. 증가 조건과 치역 충족을 구별하고, 일대일 조건으로 겹치는 함숫값을 제거하는 과정을 연습하세요(10·13·19번 대비).
4. 합성함수는 입력 치환, 역함수는 정의역 교환까지 작성하세요. 그래프 교점은 증가성을 확인한 뒤 대칭축 위의 점으로 해석하는 연습을 이어 가세요(11·12·21번 대비).
5. 유리·무리함수의 구간별 치역을 정리하세요. 경계의 포함 여부와 점근선, 최대·최소가 생기는 위치를 그림에 표시하세요(7·14·16·17번 대비).
6. 자리 배치는 형태와 대상의 순열을 분리하세요. 고정 자리부터 표시하고 조건에 맞지 않는 배치를 빼는 방법을 연습한 뒤, 절댓값 그래프의 교점 변화도 별도로 복습하세요(15·18·20번 대비).