복정고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

복정고 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

복정고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 시험은 다항식의 연산과 인수분해, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 이차함수에 걸쳐 출제됐습니다. 고차식의 나머지와 허근 관련 내용도 포함돼 있어 단원별 공식을 서로 연결할 필요가 있습니다.

기본 계산의 정확성을 확인한 뒤 같은 개념을 다른 상황에서 사용할 수 있는지 묻습니다. 다항식에서는 직접 전개보다 공통부분과 필요한 항을 고르는 방법이 중요하고, 이차방정식에서는 근의 종류를 조건식으로 옮기는 능력이 필요합니다. 큰 수나 높은 차수가 보인다고 계산량부터 늘리면 시간이 길어질 수 있습니다.

서술·단답형은 근과 계수의 관계, 공식 변형, 항등식의 수치대입, 제한된 범위의 최솟값으로 구성됩니다. 풀이에서 무엇을 근거로 식을 바꾸었는지 설명하는 연습이 필요합니다. 특히 마지막 문항은 경우를 나누는 기준과 후보를 검증하는 과정을 함께 남겨야 합니다.

난이도 분포 — 기본 계산 뒤에 등장하는 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서도 무작정 계산하는 방식은 피해야 합니다. 2번은 공통부분을 묶어 곱셈공식을 쓰고, 9번은 수치 계산을 다항식의 구조로 바꿔야 풀이가 짧아집니다. 기본 문항을 풀면서 적절한 방법을 빠르게 고르는 연습이 필요합니다.

보통 문항은 익숙한 개념에 조건을 덧붙입니다. 8번은 항상 중근이라는 조건을 항등식으로 해석하고, 12번은 같은 함숫값을 이용해 축을 찾습니다. 공식 자체를 기억해도 그 공식을 적용할 대상을 정하지 못하면 멈추기 쉬운 문항들입니다.

어려움은 마지막에만 나오지 않습니다. 7번에서 정수 범위와 엄격한 부등호를 먼저 확인해야 하며, 후반에는 13번의 명제 판단, 15번의 나누어떨어지는 구조, 16번의 도형 연결이 이어집니다. 17~19번 서술형을 먼저 정리할 여지도 남겨 두고 마지막 20번의 경우 나누기에 시간을 쓰는 운영이 좋습니다.

출제 단원 — 다항식의 비중과 이차방정식의 연결 문제

다항식은 가장 많은 단원이지만 자동 분류 기준 어려움 문항은 없습니다. 연산·인수분해·계수 선택·공식 변형을 안정적으로 처리하는 것이 우선입니다. 특히 5번의 완전제곱식 구성과 18번의 역수 관계식은 같은 공식을 다른 모양에서 알아보는 연습으로 이어집니다.

이차방정식은 판별식과 근과 계수의 관계가 중심입니다. 7·8번에서 근의 조건을 식으로 바꾸고, 16번에서는 두 근을 도형의 길이로 사용합니다. 이차함수의 10번도 교점 문제를 방정식으로 바꾸므로 방정식과 그래프를 따로 공부하지 않는 편이 좋습니다.

항등식의 수치대입과 복소수의 주기처럼 긴 전개를 줄이는 방법도 중요합니다. 여러가지방정식으로 분류된 15번 역시 높은 차수를 직접 처리하기보다 나누는 식과의 관계를 먼저 봐야 합니다. 단원 이름만으로 풀이법을 고정하지 말고, 주어진 식에서 반복되는 구조를 찾으세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 성남시의 같은 범위 시험

성남시에서 같은 2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 학교들과 비교하면, 복정고의 총 문항 수는 지역 평균 20.5문항에 가깝습니다. 서술·단답형은 4문항으로 평균 2.8문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 25%로 평균 30%보다 낮고, 어려움 비율 순서는 11개교 중 7위입니다.

복정고처럼 다항식이 가장 많은 학교도 있지만, 항등식이나 복소수·이차함수에 무게가 실린 학교도 있습니다. 복정고 학생은 다항식 기본기를 우선 다지되, 문항 수가 적은 단원의 조건 판단까지 챙겨야 합니다. 서술형에서는 계산 결과에 이르는 근거를 쓰는 부담도 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확정한 문항이 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 적용할 조건을 정해야 한다는 점입니다. 복습할 때는 풀이 첫 줄에 전제, 대응 관계, 경우의 범위를 적어 보고 그 선택이 맞았는지 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음부터 번호순 완주에 매달리기보다 기본 계산 문항을 정확히 처리하고 막힌 문항에 표시하세요. 7번에서 부등식 정리가 길어지거나 13번의 명제 판단이 멈추면 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 후반의 15·16번에 들어가기 전에 서술형의 분량도 살펴두세요.

17~19번은 익숙한 성질을 짧은 논리로 설명하는 연습이 유효합니다. 근과 계수의 관계, 나눗셈의 가능 조건, 대입으로 항을 소거하는 이유를 적은 뒤 계산을 이어가세요. 20번은 경우별 범위와 검증을 쓰는 공간과 시간을 별도로 남겨 두어야 합니다.

마지막 점검에서는 7번의 정수 경계, 8번의 모든 매개변수 조건, 10번의 자연수와 접점 제외 조건을 확인하세요. 14번에서는 항의 개수, 16번에서는 넓이와 둘레의 역할, 18번에서는 나눌 수 있는 근거를 살펴보세요. 20번의 후보를 경우의 범위와 대조하는 확인도 빠뜨리지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식 계산과 구조 찾기부터 정리하세요. 공통부분을 묶고 완전제곱식을 만드는 연습 뒤에 수치 계산과 계수 선택으로 확장하세요(1·2·5·9·11번 대비).
2. 나머지정리와 항등식 대입을 묶어 연습하세요. 필요한 값만 얻는 대입과 계수 합을 소거하는 대입의 목적을 구별하세요(6·19번 대비).
3. 판별식 조건을 문장에서 식으로 옮기세요. 서로 다른 근, 중근, 교점 없음의 차이와 정수·자연수 경계까지 확인하세요(7·8·10·17번 대비).
4. 복소수의 상등·켤레·주기를 나누어 복습하세요. 성질 판단에는 반례를, 거듭제곱의 합에는 반복 묶음을 활용하세요(3·13·14번 대비).
5. 근을 직접 구하지 않는 변형을 연습하세요. 근의 관계식, 나누어떨어지는 구조, 역수 공식, 닮음 관계를 연결해 보세요(4·15·16·18번 대비).
6. 이차함수는 축과 구간의 위치를 먼저 그리세요. 고정된 구간에서 끝점을 비교한 뒤, 매개변수에 따라 구간이 바뀌는 서술형으로 넘어가세요(12·20번 대비).