용문고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

용문고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

용문고등학교는 서울 성북구에 있습니다. 이 시험의 해설에서 확인되는 주요 내용은 다항식 연산과 인수분해, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식의 근과 계수의 관계, 제한된 구간의 이차함수 최대·최소입니다. 도형의 닮음과 대칭을 식으로 옮기는 내용도 포함됩니다.

단원별 집계는 등록된 분류를 그대로 따랐습니다. 예를 들어 11번은 평면좌표로 표시되지만 해설은 변형된 두 근의 합과 곱을 다룹니다. 따라서 평면좌표나 직선의 방정식이라는 이름만 보고 좌표 공식 위주로 준비하기보다는, 아래 설명에 나타난 실제 계산과 조건 해석을 중심으로 복습하는 편이 적절합니다.

문항 수보다 풀이 단계의 차이를 살펴볼 필요가 있습니다. 다항식의 동류항을 정리하는 문제와, 근의 비율을 범위로 바꾸어 매개변수의 최대·최소를 구하는 문제는 필요한 시간이 다릅니다. 처음 훑을 때 바로 식을 세울 수 있는 문항을 확보하고, 조건 연결이 필요한 문항으로 돌아오는 운영이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 자동 분류와 실제 풀이 단계를 함께 보기

쉬움 구간에서도 풀이 길이가 같지는 않습니다. 2번은 전개 후 계수 비교로 접근하지만, 10번은 복소수의 거듭제곱과 누적합의 반복을 추적하고 12번은 인수분해 가능 조건을 판별식과 연결합니다. 쉬움 표시는 자동 분류 기준이므로 각 문제의 실제 식을 보고 시간을 판단하세요.

보통인 5·15·21번은 각각 인수정리를 쓰기 위한 식의 변형, 제한된 구간의 최대·최소, 축의 위치에 따른 함수의 분할을 다룹니다. 특히 21번은 보통 분류라도 여러 구간의 교점 개수를 합쳐야 하므로 검토할 조건이 많습니다.

어려움 구간에는 기본 다항식 연산인 1번과 복소수의 합을 다루는 8번도 포함됩니다. 이들을 고난도 풀이로 억지 해석할 필요는 없습니다. 실제 대비에서는 함수값 관계를 연결하는 7번, 도형을 나누는 17번, 근의 조건을 최적화로 연결하는 20번을 더 자세히 살펴보세요.

출제 단원 — 분류상 최다는 평면좌표, 복습은 실제 개념 중심

분류상 평면좌표에는 11·13·15·21번이 들어 있습니다. 실제 해설을 보면 근과 계수의 관계, 자연수 근의 제한, 구간에서의 이차함수 최솟값이 중심입니다. 단원 표는 문항을 찾는 기준으로 쓰고, 공부할 때는 이차방정식과 이차함수의 연결을 별도로 묶어 정리하세요.

다항식으로 묶인 4·5번은 나머지 조건을 인수 조건으로 바꾸는 공통점이 있습니다. 항등식의 7번도 나머지를 일차 이하로 놓고 함수값을 대입한다는 점에서 함께 연습하기 좋습니다. 주어진 다항식을 무조건 전개하기보다 어떤 식을 빼야 인수가 드러나는지부터 살펴보세요.

직선의방정식에 속한 10·12·14번은 해설상 각각 복소수 주기, 인수분해 조건, 근의 합과 곱을 이용한 분수식 정리입니다. 원의방정식에 속한 16·18번도 각각 도형 넓이의 최대와 곱셈 공식 변형을 다룹니다. 분류 명칭에서 문제 상황을 추정하지 않는 것이 필요합니다.

문항별 정리

단원과 난이도는 자동 분류 기준이며, 풀이 주제는 해설과 수식에 근거했습니다.

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 시험 조건

2023학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 용문고의 문항 수는 지역 평균 22.0문항보다 적고 서술·단답형도 평균 6.3문항보다 적습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움 비율은 33%로 지역 평균 23%보다 높으며, 11개교 중 3위입니다.

최다 단원은 학교에 따라 다항식, 항등식, 이차함수 등으로 다릅니다. 용문고는 평면좌표로 분류된 문항이 가장 많지만 실제 해설의 주제와 차이가 있어 이 이름만으로 학교별 학습 범위의 차이를 단정하기는 어렵습니다. 서술·단답형의 수가 적다고 풀이 준비를 줄이기보다, 조건 변환의 근거를 짧게 적는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 조건을 계산에 쓸 형태로 바꾸는 과정이 중요합니다. 풀이 단계에 근거해 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 다항식 연산, 계수 비교, 복소수의 합처럼 출발점이 분명한 문항부터 처리하세요. 1·8번은 어려움으로 분류됐어도 해설의 계산 구조는 간단합니다. 반대로 10·12번은 쉬움 분류만 보고 서둘러 풀기보다 반복 규칙이나 인수분해 조건을 먼저 적는 편이 좋습니다.

18~20번의 서술·단답형을 마지막까지 남겨 두지 말고 중간에 확인하세요. 18번의 공식 변형과 19번의 판별식 항등식은 시작할 식이 비교적 명확합니다. 17번의 도형 분할이나 21번의 구간별 교점 검토에 오래 머무르기 전에 이러한 문항의 풀이 근거를 적어 두세요.

검토할 때는 계산을 전부 반복하기보다 조건을 점검하세요. 6번의 정수 계수와 음의 약수쌍, 13번의 서로 다른 자연수 근, 19번의 모든 매개변수에서 성립한다는 조건, 20번의 분모 부호, 21번의 구간 경계를 확인하면 누락을 찾는 데 도움이 됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식 연산과 공식 변형부터 정리하세요. 괄호의 부호와 차수별 계수 비교를 연습한 뒤 세제곱의 차를 주어진 차와 곱으로 표현하세요(1·2·18번 대비).
2. 나머지정리와 인수정리를 묶어 공부하세요. 나머지를 빼서 인수를 만들고 나머지의 차수를 먼저 정하는 풀이를 연습하세요(4·5·7번 대비).
3. 복소수는 실수부분·허수부분 비교에서 시작해 켤레와 거듭제곱의 주기로 확장하세요. 항의 반복과 누적합의 반복을 구별하세요(8·9·10번 대비).
4. 근과 계수의 관계로 변형된 근의 합·곱, 자연수 근의 후보, 분수식의 합을 처리하세요. 근을 직접 구하지 않고 정리하는 연습이 필요합니다(11·13·14번 대비).
5. 완전제곱식과 판별식의 의미를 연결하세요. 인수분해 가능 조건과 모든 매개변수에서 중근이라는 조건을 각각 식으로 설명하세요(12·19번 대비).
6. 구간이 있는 최대·최소를 축과 끝점으로 판단하세요. 근의 비율에서 구간을 도출하는 유형과 새 함수의 교점을 세는 유형으로 넓혀 가세요(15·20·21번 대비).
7. 닮음과 대칭을 이용해 도형의 길이를 변수로 나타내세요. 넓이를 구하기 전에 도형의 모양이 바뀌는 경계를 그리는 연습을 하세요(16·17번 대비).