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시험 분석 2026-09-28 작성
2025년 휘문고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 연결된 기출 기준 총 20문항이며, 선택형과 답을 직접 구하는 문항이 함께 있습니다. 분류상 다항식이 7문항으로 가장 많고, 이차함수 5문항, 복소수 4문항, 이차방정식 3문항, 항등식 1문항으로 이어집니다. 한 단원의 계산만 반복하기보다 식을 변형해 다른 개념과 연결하는 연습이 필요합니다. 아래 세 문항에서는 특히 계산을 시작하기 전 풀이 방향을 정하는 판단이 드러납니다.
이차방정식의 두 근과, 그 근이 들어간 고차식의 조건을 연결하는 문제입니다. 근의 공식부터 적용하면 계산이 길어지기 쉽습니다. 근이 원래 방정식을 만족한다는 사실로 높은 차수를 낮춘 뒤, 두 근의 합과 곱을 활용할 수 있는 모양인지 살펴보는 것이 핵심입니다.
어려운 지점은 공식 암기보다 식을 정리할 순서를 고르는 데 있습니다. 매개변수의 후보를 얻은 뒤에도 자연수 여부와 주어진 범위를 확인해야 합니다. 비슷한 유형을 연습할 때는 근의 값을 구하지 않고 어디까지 정리할 수 있는지 먼저 시도해보세요.
두 이차다항식의 차와 세제곱의 차가 함께 주어집니다. 다항식의 계수를 모두 미지수로 놓고 전개하기 전에, 세제곱의 차를 인수분해하면 앞의 조건을 어디에 쓸 수 있는지 찾아야 합니다. 관계식 하나로 다른 식을 정리하는 과정이 풀이의 출발점입니다.
식을 변형한 뒤에는 가능한 다항식을 빠짐없이 찾아 비교해야 합니다. 하나의 후보를 구했다고 끝내거나, 모든 실수에 대한 항등식이라는 조건을 특정 값에서만 확인하면 논리가 끊깁니다. 인수분해 공식과 항등식의 의미를 함께 활용해야 하는, 분석상 고난도 문항입니다.
복소수가 포함된 곱이 특정 음의 실수가 되도록 하는 자연수 지수들을 찾고, 그 후보들의 값을 비교하는 문제입니다. 거듭제곱을 그대로 펼치기보다 크기를 결정하는 조건과 부호·허수 부분을 결정하는 조건을 나누어 보아야 합니다. 허수단위의 거듭제곱이 반복되는 주기가 경우를 좁히는 단서가 됩니다.
크기 조건만 맞춘다고 원래 식이 성립하는 것은 아닙니다. 모든 지수가 자연수라는 조건과 주기 조건을 함께 적용해야 하며, 비교할 후보를 누락하지 않는 것이 중요합니다. 이 문항은 복소수 계산에 더해 경우를 체계적으로 정리하는 능력까지 요구하는, 분석상 고난도 문항입니다.
복습은 세 묶음으로 해보세요. 첫째, 방정식의 근을 대입한 고차식을 낮은 차수로 줄이는 문제. 둘째, 두 다항식의 합·차와 인수분해를 결합한 항등식 문제. 셋째, 복소수의 거듭제곱 주기와 자연수 조건을 함께 쓰는 문제입니다. 틀린 문제는 계산 실수와 접근 방법의 실수를 구분해 기록하는 것이 좋습니다.
실전에서는 긴 전개에 들어가기 전 인수분해나 관계식 대입으로 줄일 수 있는지 먼저 확인하세요. 경우를 나누는 문항은 한 변수의 범위를 정하고 후보를 일정한 순서로 적으면 중복과 누락을 줄일 수 있습니다. 마지막에는 구한 후보가 원래 조건을 모두 만족하는지 되짚으세요.
문항 수·단원 비중은 연결된 기출 분류 기준입니다. 대표 문항 8·16·20번은 원문과 해설을 대조했습니다. 고난도라는 표현은 풀이 구조에 대한 분석이며, 실제 정답률·평균 점수·등급컷을 뜻하지 않습니다.
원본 문제와 함께 다시 보기이 시험의 분석상 고난도 문항과 비슷한 문항이 많이 나온 순서예요. 「이 시험 번호↔그 시험 번호」로 짝을 보여 드려요.
문제 모양은 달라도 같은 방법으로 풀리는 문항이 많이 나온 순서예요.
시험 분석 2026-10-22 작성
휘문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 곱셈 공식과 인수분해부터 근의 성질, 그래프와 도형의 관계까지 연결해 준비해야 합니다.
기본 개념이 복합 조건을 정리하는 도구로 쓰입니다. 다항식에서는 식을 전개하기보다 인수나 합과 곱을 먼저 찾고, 이차방정식에서는 근을 직접 구하기보다 근이 만족하는 관계를 이용합니다. 도형 문항 역시 좌표나 길이를 대수식으로 옮기는 단계가 풀이의 출발점입니다.
서술·단답형이 시험의 절반을 차지하지만 그 안에서도 접근 부담은 다릅니다. 11·12번은 기본적인 최대·최소와 교점 조건을 다루고, 13번 이후에는 인수분해, 경우 분류, 주기와 범위 검사가 이어집니다. 형식만 보고 뒤쪽 문제를 모두 미루기보다 각 문항의 출발 조건을 확인하세요.
자동 분류 기준 쉬움은 1·2·11번입니다. 판별식, 곱셈 공식의 변형, 제한된 범위에서의 최대·최소처럼 기본 개념을 정확하게 적용하는 문항입니다. 보통인 3·4·7·12번에서는 목표 계수, 나머지의 차수, 나누어떨어짐, 교점 개수를 식으로 옮기는 능력이 필요합니다.
객관식은 5·6번에서 어려움으로 바뀌었다가 7번에서 보통으로 돌아옵니다. 복소수 조건 해석에 막혀도 다음 문항의 계수 비교를 확인할 여지가 있습니다. 8~10번에서는 근의 관계나 접점 조건을 다른 식 또는 도형 관계와 연결해야 하므로, 첫 관계식을 고르는 데 시간이 들 수 있습니다.
서술·단답형의 13~20번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 특히 계산 뒤 자연수 범위, 도형의 존재, 부호 같은 조건을 다시 확인해야 하는 문제가 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 학생의 체감 난도는 익숙한 유형과 풀이 방식에 따라 달라질 수 있습니다.
| 난이도(자동 분류 기준) | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 쉬움 | 3 | 15% | 1·2·11 |
| 보통 | 4 | 20% | 3·4·7·12 |
| 어려움 | 13 | 65% | 5·6·8·9·10·13·14·15·16·17·18·19·20 |
다항식은 공식 변형과 계수 계산에서 시작해 정수의 소인수, 다항식 사이의 항등 관계, 삼각형과 정팔각형의 조건으로 확장됩니다. 특히 16·18·19번은 전개를 많이 하는 것보다 공통인수나 길이의 합과 곱을 찾는 일이 중요합니다. 인수분해한 식의 의미를 원래 조건으로 되돌리는 연습이 필요합니다.
이차함수는 제한된 범위의 최대·최소뿐 아니라 직선과의 접점, 대칭성을 이용한 직사각형, 최솟값으로 새로 정의한 함수를 다룹니다. 11번의 축과 끝점 비교를 익힌 뒤 14·15번처럼 변수가 늘어나는 문제로 넘어가세요. 복소수는 해당 문항 모두 자동 분류 기준 어려움이며, 실수 조건과 거듭제곱 주기를 구분해 준비하는 것이 좋습니다.
항등식으로 분류된 문항은 4·7번이지만, 그 접근법은 다른 단원에서도 쓰입니다. 10번에서는 두 근에서 사라지는 보조 다항식을 만들고, 16번에서는 다항식 관계로 공통인수를 찾습니다. 단원별 문제 수만 보고 공부를 분리하기보다 계수 비교와 인수정리를 공통 도구로 정리하세요.
| 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 그중 어려움 |
|---|---|---|---|
| 다항식 | 6 | 2·3·13·16·18·19 | 13·16·18·19 |
| 이차함수 | 5 | 9·11·12·14·15 | 9·14·15 |
| 복소수 | 4 | 5·6·17·20 | 5·6·17·20 |
| 이차방정식 | 3 | 1·8·10 | 8·10 |
| 항등식 | 2 | 4·7 | 없음 |
서로 다른 두 허근을 갖는 조건으로 자연수 매개변수의 범위를 정합니다. 판별식의 부호를 먼저 정하고, 부등식의 경계와 자연수 조건을 함께 확인하세요.
두 수의 세제곱의 합과 차를 곱셈 공식으로 정리하는 문항입니다. 두 수의 합·차·곱을 먼저 구하면 전개를 줄일 수 있으며, 세제곱의 차 공식에서 부호를 혼동하지 마세요.
다항식의 곱에서 지정된 차수의 계수로 미지수를 결정합니다. 각 차수를 만드는 항의 조합을 모아 연립하고, 서로 다른 차수의 계수를 섞지 않도록 줄을 나누어 쓰세요.
일차식으로 나눈 나머지 조건을 이용해 이차식으로 나눈 몫과 나머지의 값을 연결합니다. 나머지를 일차 이하로 놓고 대입할 값을 고르며, 몫에 관한 조건과 나머지에 관한 조건을 구별하세요.
복소수의 제곱이 음의 실수가 되는 조건과 켤레복소수의 차가 실수가 되는 조건을 다룹니다. 실수부와 허수부로 나누어 판단하고, 실수라는 조건만 확인한 채 음수 조건을 빠뜨리지 마세요.
복소수와 켤레복소수 사이의 관계를 만족하는 모든 복소수를 찾습니다. 주어진 식과 그 켤레식을 더하고 빼서 합과 곱을 연결하며, 실수인 경우가 별도 조건에 어긋나는지 확인하세요.
다항식이 이차식으로 나누어떨어지도록 계수를 정합니다. 몫의 차수와 최고차항을 먼저 정한 뒤 계수를 비교하고, 나머지가 없는 항등식이라는 점을 활용하세요.
근이 들어 있는 고차식을 낮은 차수로 바꾸어 매개변수 조건을 구합니다. 근이 만족하는 이차 관계와 근과 계수의 관계를 결합하며, 얻은 후보가 자연수 범위와 서로 다른 두 실근 조건을 만족하는지 확인하세요.
포물선과 직선이 한 점에서 만나는 조건을 삼각형의 넓이 관계에 연결합니다. 중근으로 접점의 좌표를 찾고, 넓이의 높이는 좌표 자체가 아니라 축까지의 거리라는 점에 주의하세요.
두 근에서 서로 바뀐 제곱값을 갖는 이차식을 구성하는 문항입니다. 근의 관계로 제곱을 일차식으로 바꾼 뒤 두 근을 공유하는 보조식을 만들며, 원래 방정식과 새 다항식의 계수를 구별하세요.
고정된 구간에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 판단합니다. 완전제곱식으로 축을 찾고 꼭짓점과 양 끝점을 비교하며, 최댓값을 주는 끝점을 임의로 고르지 마세요.
이차함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 자연수 조건을 구합니다. 두 식을 연립해 판별식으로 바꾸고, 접하는 경우가 포함되지 않도록 엄격한 부등호를 유지하세요.
거듭제곱이 들어 있는 자연수를 다항식으로 보고 소인수의 범위를 파악합니다. 인수정리와 조립제법으로 먼저 인수분해하며, 대입 후 얻은 인수가 모두 소수인지 다시 확인하세요.
포물선의 대칭성으로 직사각형의 변을 표현하고 둘레의 최댓값을 다룹니다. 같은 높이의 두 점을 축에 대하여 대응시키며, 변의 길이의 부호와 최댓값을 주는 입력의 허용 범위를 확인하세요.
매개변수에 따른 이차함수의 최솟값을 새로운 함수로 정의해 다시 최대·최소를 구합니다. 축이 구간의 왼쪽·내부·오른쪽에 놓이는 경우를 나누고, 원래 입력과 매개변수의 역할을 구별하세요.
두 이차다항식의 차와 세제곱의 차에 관한 관계로 가능한 다항식의 형태를 찾습니다. 공식 변형으로 곱과 공통인수를 드러내고, 다항식 인자를 소거할 때 특정 입력에서 영이 되는 경우의 논리도 챙기세요.
복소수의 거듭제곱 차가 주어진 조건을 만족하는 지수의 순서쌍을 셉니다. 주기별 실수부와 허수부를 함께 비교하며, 지수 범위의 끝과 순서쌍의 방향을 빠뜨리지 마세요.
다항식의 인수분해를 이용해 삼각형의 변을 표현하고 두 변이 같은 경우를 검토합니다. 가능한 변의 일치를 빠짐없이 나눈 뒤 길이의 양수 조건과 삼각형 부등식으로 후보를 걸러야 합니다.
정팔각형의 길이와 넓이 조건을 대수 관계로 바꾸어 공식 변형을 적용합니다. 변을 연장해 생기는 직각삼각형을 활용하고, 치환한 길이를 원래 선분으로 되돌릴 때 대소와 선분 위 조건을 확인하세요.
복소수 거듭제곱의 곱 조건 아래 자연수 지수의 제곱합을 비교합니다. 켤레를 이용한 크기 관계와 주기에 따른 지수 조건을 함께 쓰며, 실수가 된다는 검사 뒤 원래 식의 부호까지 검토하세요.
작년 과목은 수학(상), 올해 과목은 공통수학1로 서로 다릅니다. 교육과정 개편에 따른 과목 차이를 전제로, 자료에 공통으로 표시된 단원과 자동 분류 기준의 분포를 비교합니다. 총 문항은 같지만 서술·단답형이 8문항에서 10문항으로 늘어 답을 직접 정리하는 문항의 비중이 커졌습니다.
자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 13문항으로 늘었습니다. 작년에는 8·9·10·16·17·18·20번이었고, 올해는 5·6번에서도 등장하며 13~20번에 연속됩니다. 작년의 후반 일부 문항에 대비하는 방식에서 더 나아가, 객관식 중간부터 접근 순서를 판단하는 연습이 필요합니다.
공통 단원 중 다항식은 4문항에서 6문항으로 늘고, 이차함수는 6문항에서 5문항으로 바뀌었습니다. 복소수는 4문항, 이차방정식은 3문항으로 같고 항등식은 3문항에서 2문항이 되었습니다. 다음 시험을 준비할 때는 다항식의 인수 구조와 도형 연결을 보강하되, 이차함수의 구간별 판단도 함께 유지하세요.
| 항목 | 2024학년도 | 2025학년도 |
|---|---|---|
| 총 문항 | 20 | 20 |
| 서술·단답 | 총 8문항 | 총 10문항 |
| 쉬움 | 3 | 3 |
| 보통 | 10 | 4 |
| 어려움 | 7 | 13 |
| 가장 많은 단원 | 이차함수 6문항 | 다항식 6문항 |
이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산으로 얻은 관계가 최종 조건의 일부라는 점입니다. 풀이 끝에 정의역, 가능한 계수, 원래 식의 부호로 돌아가는 검토 단계를 남겨 두세요.
원래 이차함수의 최솟값을 구하는 단계와 그 최솟값 함수의 최대·최소를 구하는 단계가 겹칩니다. 축의 위치로 구간을 나눈 뒤 각 구간의 식을 연결해야 하므로, 꼭짓점만 한 번 확인해서는 충분하지 않습니다. 경계와 매개변수 범위의 양 끝을 표시한 그래프를 그려 보세요.
세제곱의 차를 분해하고 두 다항식의 곱을 찾아 공통인수와 계수 조건을 연결해야 합니다. 식의 관계를 바꾸는 과정이 길어 중간의 인수 구조를 잃기 쉽습니다. 차·곱·공통인수의 관계를 구분해 적고, 가능한 계수의 경우를 모두 검토하세요.
켤레복소수로 크기 관계를 얻는 것과 주기로 지수를 제한하는 것을 함께 처리해야 합니다. 이후 자연수의 제곱합을 비교할 때도 후보가 원래 복소수 식을 만족하는지 돌아가야 합니다. 실수 여부를 만족해도 요구한 부호가 다를 수 있다는 점이 핵심 함정입니다.
첫 풀이에서는 출발 관계가 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 5·6번의 복소수 조건에서 오래 막히면 표시하고 7번의 계수 비교를 확인하는 방식이 좋습니다. 객관식을 모두 끝내야 서술·단답형으로 넘어간다고 정하기보다 11·12번까지 살펴 풀이 순서를 조정하세요.
13번 이후에는 식을 세우는 시간과 계산 시간을 나누어 연습하세요. 15번은 축과 구간, 17번은 주기와 지수 범위, 18번은 같은 변을 고르는 경우를 먼저 적으면 계산 방향이 분명해집니다. 서술 답안에는 조건을 옮긴 관계식과 후보를 제외한 이유를 남겨, 계산을 다시 시작하지 않아도 검토할 수 있게 하세요.
마지막 검토는 조건에 집중하세요. 1·12번에서는 판별식 부등호와 자연수 범위, 9번에서는 넓이의 높이에 쓰는 거리, 14·15번에서는 허용 구간을 확인하세요. 18번은 삼각형의 존재 조건, 19번은 점이 선분 위에 놓이는지, 20번은 원래 복소수 식의 부호까지 점검해야 합니다.
이 분석은 수학ETF에 등록된 이 회차 20문항의 단원·난이도 분류와 해설을 바탕으로 작성했습니다. 난이도는 자동 분류 결과이며 실제 정답률이나 등급컷이 아닙니다. 문항 원문과 해설 전체는 싣지 않았습니다. 시험지 상세 페이지: https://mathetf.com/exam/6542d7df-a737-4a68-bf88-ac5de6956d84
