야탑고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

야탑고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

야탑고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 삼각함수활용, 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 삼각형의 넓이와 사인·코사인법칙부터 수열의 일반항, 합, 귀납적 정의와 증명까지 다룹니다.

삼각형 문제는 필요한 법칙을 선택하고 도형의 관계를 식으로 옮기는 과정이 중요합니다. 외접원과 변의 비를 함께 쓰거나, 평행선으로 생기는 보각 관계를 처리해야 합니다. 수열 문제도 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 합에서 항을 복원하고 반복 구조를 찾아야 합니다.

서술·단답형에는 상황을 점화식으로 표현하는 16번, 합의 조건을 해석하는 17번, 귀납법으로 배수임을 증명하는 19번이 있습니다. 계산 결과에 도달하는 연습과 함께 관계식이 성립하는 이유를 문장으로 설명하는 연습을 하세요. 형식 표시는 제공 자료의 분류를 따릅니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 연결

초반에는 넓이 공식, 사인법칙, 합의 기호의 성질을 확인하는 문제가 나옵니다. 보통 문항이라도 3번의 합 기호 해석이나 5번의 부분합 차처럼 출발 개념을 정확히 짚어야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇이 상수이고 무엇이 합의 변수인지 구별하세요.

6번에서 자동 분류 기준 어려움이 등장한 뒤 7~9번은 보통으로 돌아옵니다. 10~18번은 어려움이 이어져, 같은 문제에 오래 머물면 다른 접근 가능한 문항을 놓치기 쉽습니다. 이 구간에서는 식을 변형하는 능력뿐 아니라 조건을 어디까지 적용할 수 있는지 판단하는 능력이 필요합니다.

19번은 자동 분류 기준 보통이지만 증명 형식에 익숙하지 않으면 시간이 걸릴 수 있습니다. 난이도 분류는 실제 응시자의 체감이나 성적을 확정하는 자료가 아닙니다. 평소 연습에서 계산이 막힌 것인지, 풀이의 출발점을 못 찾은 것인지 구분해 기록하세요.

출제 단원 — 삼각함수활용의 비중과 귀납적 수열의 부담

삼각함수활용은 1·2·4·7번의 공식 적용에서 11·14·18번의 복합 관계로 이어집니다. 11번은 원과 각의 이등분선, 합동을 함께 살펴야 하므로 삼각법 공식만 찾는 접근으로는 길이 관계를 놓칠 수 있습니다. 기본 도형 성질을 먼저 표시하는 연습이 필요합니다.

수학적귀납법으로 묶인 문항은 증명 문제만을 뜻하지 않습니다. 6번의 주기적 수열, 13번의 부분합 관계, 15번의 조건에 따른 항의 변화, 16번의 상황 모델링도 포함됩니다. 단원 이름만 보고 증명 틀만 복습하지 말고 귀납적으로 정의된 수열의 규칙을 읽는 연습을 병행하세요.

수열의합에서는 합 기호의 의미, 부분분수, 합의 차를 통한 일반항 복원이 연결됩니다. 등차등비수열의 20번은 부분합들을 더한 조건에 자연수와 배수 조건이 결합됩니다. 공식 계산이 끝난 뒤에도 항의 범위와 정수 조건으로 후보를 검토해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건 연결 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 공통적으로 계산 전에 관계를 정리하고 계산 뒤에는 처음의 조건으로 돌아가는 과정이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 공식과 출발점이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 6번의 주기 정리에서 막히더라도 7~9번을 확인하고, 중후반에서는 문제마다 필요한 관계를 짧게 적은 뒤 진행 여부를 판단하세요. 19번처럼 익숙한 증명 구조를 활용할 수 있는 문항도 있으므로 끝부분까지 먼저 훑어보는 연습이 좋습니다.

수열에서는 관계식의 적용 범위를 따로 표시하세요. 6번은 일부 항에 주어진 관계를 모든 항에 확대하지 않아야 하고, 13번은 부분합 관계를 빼는 과정에서 시작 번호를 확인해야 합니다. 17번은 첫째항이 이후의 일반식과 다르게 처리됩니다. 20번은 모든 항이 자연수라는 조건을 공차의 범위와 연결해야 합니다.

도형에서는 각과 대변, 보각의 부호, 길이의 양수 조건을 마지막까지 확인하세요. 14번은 평행선에서 얻은 각을 같은 각으로 착각하지 않는 것이 중요합니다. 서술·단답형은 관계식의 근거와 적용 범위를 쓰는 시간을 남겨 두고, 16번의 중복 계산이나 19번의 귀납 단계 누락을 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 삼각형의 넓이와 사인·코사인법칙을 복습하세요. 각에 대응하는 변과 외접원 반지름을 표시한 뒤 사용할 법칙을 고르세요(1·2·4·7번 대비).
2. 합의 기호를 실제 항으로 풀어 쓰세요. 상수와 합의 변수를 구분하고, 부분분수로 바꾼 뒤 남는 양 끝 항을 확인하세요(3·9번 대비).
3. 등차·등비수열의 일반항과 부분합을 연결하세요. 부분합의 차를 연속된 항의 합으로 바꾸고, 변형한 수열의 첫째항과 공차를 비교하세요(5·8·20번 대비).
4. 합에서 항을 복원하는 유형을 묶어 연습하세요. 관계식을 뺄 수 있는 시작 번호와 첫째항의 별도 확인을 풀이에 포함하세요(10·13·17번 대비).
5. 점화식의 주기와 분기 조건을 표로 정리하세요. 홀짝에 따른 변화와 최초 성립 조건을 따로 확인하며 후보를 검토하세요(6·15번 대비).
6. 귀납법은 기초 단계, 귀납 가정, 다음 단계의 연결을 문장으로 쓰세요. 상황에서 늘어나는 양을 식으로 표현하는 연습도 병행하세요(12·16·19번 대비).
7. 복합 도형에서는 원과 합동 관계를 먼저 표시하세요. 보각의 부호와 삼각비를 변의 관계로 바꾸는 과정을 설명하며 풀어 보세요(11·14·18번 대비).