현대고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

현대고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

현대고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 등차등비수열, 수학적귀납법, 수열의합, 삼각함수활용입니다. 수열의 일반항과 합을 다루는 문항이 중심이며, 사인법칙·코사인법칙과 삼각형의 넓이를 이용하는 도형 문항도 포함되어 있습니다.

수학적귀납법 단원에는 증명뿐 아니라 귀납적으로 정의된 수열도 들어 있습니다. 따라서 단원 이름만 보고 증명 문제만 준비하면 2·7·14번의 점화식 해석을 놓칠 수 있습니다. 항을 직접 나열하는 방법과 일정한 규칙을 가진 부분수열로 바꾸는 방법을 함께 연습해야 합니다.

기본형과 여러 개념을 연결하는 유형이 함께 배치되어 있습니다. 10번은 지수함수 그래프에서 길이를 얻어 합으로 옮기고, 11번은 직각삼각형의 관계를 등비수열에 연결합니다. 단원을 따로 공부한 뒤에는 그림이나 문장으로 주어진 조건을 수열의 식으로 바꾸는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석과 중간에 놓인 기본형

쉬움 구간에서는 사인법칙, 등비수열의 항 관계, 시그마의 성질, 등차수열의 합, 귀납법의 기본 증명을 확인합니다. 15·16번이 서술·단답형이라는 이유만으로 뒤로 미룰 필요는 없습니다. 익숙한 공식과 증명 틀을 정확하게 쓰면 먼저 마무리할 수 있는 문항입니다.

보통 구간도 단순 대입으로만 구성되지는 않습니다. 6번에서는 분수식의 합을 소거되는 형태로 바꾸고, 9번에서는 교집합의 원소를 등차수열로 읽어야 합니다. 10·11번처럼 그래프나 도형에서 필요한 관계를 먼저 추출하는 유형은 첫 식을 세우는 속도가 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 증명 과정의 식 정리, 부분합의 부호, 홀짝에 따른 수열 분리, 나머지의 주기, 도형 조건의 결합을 다룹니다. 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 이 구간에서는 계산 전에 구조를 정리할 여유를 확보하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 등차등비수열을 중심으로 합과 점화식 연결

등차등비수열에서는 일반항과 합 공식의 숙지가 출발점입니다. 4번처럼 두 수열의 차를 새 수열로 보는 관점, 9번처럼 집합의 공통 원소를 수열로 읽는 관점까지 확장됩니다. 13번은 항과 부분합의 대소 관계를 부분합의 부호로 바꾸어야 하므로 공식 암기 이후의 해석 연습이 필요합니다.

수학적귀납법은 16번의 기본 등식 증명과 12번의 부등식 증명 과정 해석을 구별해 준비하세요. 귀납적으로 정의된 수열에서는 상수를 빼 등비수열로 바꾸거나 일정한 간격의 항을 묶는 방법이 쓰입니다. 항을 많이 계산하기 전에 어떤 변형이 규칙을 드러내는지 살펴보는 습관이 도움이 됩니다.

수열의합에서는 소거와 주기가 중요하고, 삼각함수활용에서는 넓이를 표현하는 방법의 선택이 중요합니다. 특히 18번은 내접원에서 얻은 넓이 관계와 삼각비를 이용한 넓이 관계를 연결합니다. 수열 학습에 무게를 두되 사인법칙·코사인법칙과 넓이 공식의 쓰임도 따로 정리하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 가운데 조건 변환의 부담을 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 세우기 전에 조건의 의미를 바꾸어 읽어야 한다는 것입니다. 최대 위치는 경계로, 점화식은 부분수열로, 내접원 조건은 넓이로 옮기는 출발점을 설명하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 전체 문항을 훑고 바로 출발할 수 있는 유형을 확보하세요. 12~14번에서 정리가 길어지면 표시해 두고 15·16번을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형이라고 모두 시간이 오래 걸리는 것은 아니므로 형식보다 풀이 구조를 기준으로 순서를 정하세요.

수열에서는 처음 상태와 첫째항의 구분, 항 번호와 이동 횟수, 합의 시작점과 끝점을 먼저 표시하세요. 7번은 묶음별 증가량을, 9번은 원소 개수가 바뀌는 경계를, 17번은 반복을 마친 뒤 남는 항을 확인해야 합니다. 연습에서는 전체 항을 펼치기 전에 소거·묶음·홀짝 중 어떤 방법을 쓸지 짧게 적어 보세요.

마지막 검토는 조건과 풀이 근거에 집중하세요. 3·11번의 양수 조건, 13번의 엄격한 부등호와 등호가 있는 경계, 14번의 항 순서를 확인하세요. 16번은 귀납 가정과 결론을 구별하고, 18번은 지정된 넓이 풀이를 실제로 제시했는지 점검해야 합니다. 시험 시간이 명시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위보다 단계별 점검 습관을 익히세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항과 합을 복습하세요. 항의 비를 공비로, 항의 차를 공차로 바꾸고 첫째항에서의 이동 횟수를 표시하세요(3·4·15번 대비).
2. 시그마를 분리하는 기본형에서 소거되는 분수합으로 확장하세요. 처음과 마지막 항을 직접 적어 합의 경계를 확인하세요(5·6·10번 대비).
3. 점화식은 상수 이동과 묶음별 합, 홀짝 분리 순서로 연습하세요. 몇 항을 관찰한 뒤 규칙을 식으로 설명하세요(2·7·14번 대비).
4. 등차수열의 조건 해석을 집합과 부등식에 적용하세요. 공통 원소의 간격과 부분합의 부호가 바뀌는 경계를 확인하세요(9·13번 대비).
5. 귀납법 증명의 기본 틀을 쓴 뒤 합의 변형을 연습하세요. 다음 단계에서 새로 생긴 항과 이전 합에 해당하는 부분을 구분하세요(16·12번 대비).
6. 나머지 수열은 홀짝과 주기로 나누어 정리하세요. 나머지의 범위를 확인하고 완전한 반복 뒤에 남은 항을 따로 처리하세요(17번 대비).
7. 도형은 각과 대변의 대응에서 시작해 대각선 분할, 닮음, 내접원과 넓이의 연결로 확장하세요. 계산 전에 사용할 관계를 그림에 표시하세요(1·8·11·18번 대비).