운정고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

운정고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

운정고등학교는 경기 파주시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 행렬, 순열조합, 여러가지부등식, 이차함수, 다항식, 여러가지방정식, 항등식입니다. 행렬의 성분과 순열 기호 같은 기본 개념부터 도형의 대수적 해석과 복소수의 식 변형까지 다룹니다.

행렬은 성분 계산만으로 대비하기 어렵습니다. 초반에는 덧셈과 곱셈을 정확하게 수행하는 능력이 필요하지만, 후반에는 행렬 전체를 구하지 않고도 필요한 벡터의 곱이나 성분의 합을 얻는 접근이 중요합니다. 조건식을 어떤 순서로 결합할지 먼저 생각해야 합니다.

순열조합도 공식에 수를 넣는 수준에서 끝나지 않습니다. 서로소 조건을 소인수 묶음의 배분으로 바꾸거나, 순서가 정해진 결과를 조합으로 세거나, 직선의 교점을 중복 보정하는 방식으로 해석해야 합니다. 문제의 상황을 세는 대상으로 바꾸는 연습이 이 시험 대비의 출발점입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 결합

쉬움 구간은 연립일차부등식, 행렬의 성분, 순열 기호를 정확히 다루는 기본형입니다. 이 문항들에서는 개념을 새로 해석하기보다 부호와 행·열의 위치를 안정적으로 처리하는 것이 중요합니다. 초반에 계산 실수를 줄이면 후반의 조건 해석에 집중할 여유가 생깁니다.

보통 문항은 앞부분에만 있지 않습니다. 9·10·11·13번과 서술형 20번도 해당하므로, 8번이나 12번에서 막혔을 때 뒤 문제까지 어렵다고 판단하지 마세요. 특히 20번은 팩토리얼의 약분과 자연수 조건을 차례로 쓰는 문항이어서 객관식 후반보다 먼저 접근할 수 있습니다.

14~19번에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 연속됩니다. 행렬의 구조를 바꾸는 문제, 방정식과 부등식을 결합한 문제, 정수해와 교점을 세는 문제가 이어집니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없지만, 풀이의 첫 방향을 찾는 시간을 따로 관리해야 하는 구성입니다.

출제 단원 — 행렬과 순열조합의 서로 다른 부담

행렬과 순열조합은 문항 수가 같지만 학습 부담의 성격은 다릅니다. 행렬은 성분과 곱셈의 기본에서 출발해 14·16·17번의 관계식 활용으로 확장됩니다. 순열조합은 기호 계산, 서로소 분할, 순서 조건, 줄 세우기처럼 상황별로 세는 방법을 구별해야 합니다.

여러가지부등식은 1번의 공통 범위, 5번의 항상 성립하는 조건, 18번의 정수해 조건으로 이어집니다. 해집합을 구하는 것과 그 안의 정수를 세는 것은 별도 단계입니다. 나머지 단원은 각각의 문항 수가 적어도 자동 분류 기준 어려움에 해당하므로, 출제량이 적다는 이유로 학습을 생략하기 어렵습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 조건 해석 부담

같은 2025학년도 1학년 1학기 기말 공통수학1을 치른 경기 지역 학교들과 견주면, 운정고의 총 21문항은 지역 평균 21.6문항에 가깝습니다. 서술·단답형은 2문항으로 평균 1.1문항보다 많습니다. 문항 수만 보고 시간 부담을 판단하기보다 서술 과정에 필요한 여유를 고려해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 운정고가 43%로 지역 평균 33%보다 높으며, 11개교 중 2위입니다. 표의 비율은 지역 비교에 쓰인 반올림 값입니다. 가장 많은 단원이 순열조합인 학교가 여럿인 가운데 운정고는 행렬도 같은 비중을 차지하므로, 경우의 수 연습과 행렬 조건 변형 연습을 함께 진행하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 재구성하는 과정에 주목해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 필요한 대상과 경우의 구분을 적어 두면 풀이가 길어지는 것을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 연산과 기호 정리가 가능한 문항을 먼저 해결하세요. 8번에서 판별식 분류가 길어지면 표시하고 뒤 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 후반의 14~19번을 모두 해결한 다음에야 서술형을 보겠다는 순서보다, 20번의 약분 구조를 먼저 확인하는 운영을 연습하세요.

서술형에는 계산식뿐 아니라 후보를 거르는 이유를 남기세요. 20번은 팩토리얼의 정의 범위와 자연수 조건을 확인해야 하고, 21번은 제곱합 조건으로 각 항이 사라진다는 근거를 써야 합니다. 연습할 때는 접근법을 찾는 시간과 식을 계산하는 시간을 나누어 기록하면 보완할 부분이 드러납니다.

최종 검토에서는 조건의 경계를 우선 확인하세요. 5·8번은 판별식이 영일 때, 11번은 같은 눈이 허용되는 위치, 18번은 정수 끝점의 포함 여부가 중요합니다. 7번의 인수 순서와 19번의 교점 중복도 확인하고, 행렬 문항에서는 곱셈 순서를 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 교집합과 항상 성립하는 조건부터 복습하세요. 부등호의 방향과 등호 포함을 따로 표시하세요(1·5·8번 대비).
2. 행렬의 성분·실수배·곱셈을 안정적으로 계산한 뒤 거듭제곱의 규칙을 찾으세요. 곱셈 순서를 바꾼 결과도 비교해 보세요(2·4·6·9번 대비).
3. 순열과 조합의 기호를 곱으로 풀고, 조합의 합과 대칭성 및 팩토리얼 약분을 연습하세요. 정의 범위를 마지막까지 유지하세요(3·10·20번 대비).
4. 경우의 수는 배분, 대소 관계, 줄의 삽입, 중복 보정으로 나누어 연습하세요. 무엇을 같은 경우로 보는지 먼저 적으세요(7·11·13·19번 대비).
5. 행렬 전체를 구하는 풀이와 주어진 관계만 사용하는 풀이를 비교하세요. 벡터에 대한 곱과 성분 합의 표현을 활용하세요(14·16·17번 대비).
6. 도형의 길이를 대수 관계로 옮기고, 근의 조건과 절댓값·정수해의 경우를 분류하세요. 계산 후 후보가 가정한 범위에 속하는지 확인하세요(12·15·18번 대비).
7. 항등식의 대입으로 인수를 찾고 허근의 관계로 거듭제곱을 줄이는 서술을 연습하세요. 사용한 성질과 결론을 문장으로 연결하세요(21번 대비).