중동고등학교
2024년 3학년 1학기 기말고사

중동고 고3 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

중동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 평면벡터에서 총 20문항을 출제했으며 모두 객관식입니다. 단원명은 하나이지만 방향과 크기의 구별, 벡터식 정리, 위치벡터, 내적과 도형의 연결까지 다루어 준비할 내용이 단순하지 않습니다.

앞부분에서는 도형 속 벡터를 다른 경로로 나타내거나 평행하지 않은 벡터의 계수를 비교합니다. 중간에서는 내적의 전개, 내분점과 외분점의 위치벡터, 도형의 각과 넓이가 이어집니다. 공식을 알고 있는지에 더해 주어진 조건에 맞는 표현을 선택하는 능력을 확인하는 구성입니다.

후반의 특징은 움직이는 점을 해석하는 과정입니다. 벡터식을 중점이나 내분점으로 읽고, 크기 조건을 원으로, 매개변수 조건을 직선으로 바꾸어야 합니다. 객관식이라도 그림과 조건을 생략한 채 계산하면 극값이 실제로 가능한 위치에서 나오는지 놓치기 쉽습니다.

난이도 분포 — 기본 계산 뒤에 이어지는 자취와 극값

자동 분류 기준 쉬움 구간은 벡터의 차, 실수배와 계수 비교, 내적의 성질, 직선 사이의 각을 확인합니다. 다만 3번처럼 중점과 벡터의 방향을 함께 읽거나 8번처럼 직선식을 방향벡터로 고쳐야 하므로, 쉬움이라는 분류가 조건 확인을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

보통 문항에서는 하나의 개념을 여러 단계로 적용합니다. 9·12번은 내적을 전개하고, 10번은 내적 조건을 연립하며, 11·15번은 위치벡터를 정리한 뒤 계수를 비교합니다. 계산 자체보다 처음 세운 표현의 부호와 비율이 끝까지 맞는지가 중요합니다.

13번에서 합성된 벡터의 각을 구하는 계산을 거친 뒤 14·15번에는 보통 문항이 다시 나옵니다. 따라서 13번에서 오래 막혀도 뒤를 확인하는 편이 좋습니다. 16~20번은 모두 어려움으로 분류되어 있어, 앞부분에서 시간을 확보하고 후반에는 자취를 그리는 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 평면벡터 안에서 연산과 도형 해석 연결

모든 문항이 평면벡터이므로 단원별 공부 시간을 나누기보다 같은 조건을 서로 다른 표현으로 바꾸는 연습이 필요합니다. 2·6번의 계수 비교는 11·15번의 위치벡터 정리로 이어지고, 4번의 내적 성질은 9·12·13번의 전개 계산을 받쳐 줍니다. 기본 성질을 따로 외우는 데서 끝내지 마세요.

위치벡터는 후반 도형 해석의 출발점입니다. 16번에서는 내분과 넓이비를 연결하고, 17번에서는 중점의 자취를 축소된 도형으로 읽습니다. 18번에서는 공통 시점으로 벡터를 정리하여 원과 직선을 찾아야 합니다. 식을 정리한 뒤 그 식이 어떤 도형을 뜻하는지 말로 설명하는 연습이 도움이 됩니다.

내적 역시 각을 계산하는 용도로만 나오지 않습니다. 14번은 삼각형의 넓이로 연결되고, 19번은 좌표 범위를 제한하며, 20번은 수직 조건으로 자취를 결정합니다. 내적을 보면 곧바로 전개하기보다 각·좌표·수직 중 어떤 해석이 조건을 가장 간단하게 만드는지 먼저 판단하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 계산에 앞서 움직일 수 있는 범위를 확정해야 한다는 공통점이 있습니다. 단순히 식의 상한이나 하한을 구하는 데서 멈추지 말고 그 값을 만드는 점을 자취 위에서 확인하세요. 자동 분류 기준 어려움 문항 중 풀이 구조를 살펴 선정한 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 기본 연산과 내적 전개가 바로 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 5·7번처럼 중간에 해석이 필요한 문항이 끼어 있으므로 앞번호를 모두 같은 속도로 풀겠다는 계획은 피하는 편이 좋습니다. 계산이 멈추면 필요한 관계를 짧게 적고 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요.

13번의 계산에 머무르느라 14·15번을 확인하지 못하는 상황을 막아야 합니다. 16~20번에는 자취의 그림과 범위 확인에 쓸 시간을 따로 남기세요. 시험 시간이 주어지면 평소 모의 풀이에서 앞부분의 실제 소요 시간을 재고, 후반에서 접근이 보이는 문항부터 다시 푸는 순서를 정해 두세요.

검산은 숫자 계산보다 조건과 방향을 중심으로 하세요. 7번은 반대 방향과 매개변수의 부호, 8번은 예각, 11·15번은 내분·외분과 벡터의 뺄셈 순서가 핵심입니다. 16번의 내부 조건, 17번의 변 위 이동, 19번의 나뉜 부등식 범위까지 그림이나 식에 표시해 두면 재검토할 때도 빠르게 확인할 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 방향과 경로부터 정리하세요. 같은 벡터를 다른 경로로 표현하고 평행하지 않은 기본벡터의 계수를 비교하는 연습을 합니다(1·2·3·5·6번 대비).
2. 크기와 내적의 기본 연산을 묶어 복습하세요. 크기의 제곱 전개, 내적의 분배법칙, 반대 방향에서의 절댓값 처리를 구별합니다(4·7·9·10번 대비).
3. 내분점과 외분점은 공식을 쓰기 전에 위치부터 그리세요. 연결벡터를 위치벡터의 차로 쓰고 계수 비교로 마무리합니다(11·15·16번 대비).
4. 각과 넓이를 연결하세요. 직선의 방향벡터와 도형의 중심각으로 기본 내적을 정하고, 합성벡터의 크기나 삼각형의 넓이로 확장합니다(8·12·13·14번 대비).
5. 벡터 조건에서 자취를 찾는 연습을 하세요. 중점의 축소 도형, 크기 조건의 원, 매개변수로 표현된 직선을 직접 그려 설명합니다(17·18번 대비).
6. 조건이 붙은 극값은 가능한 위치까지 확인하세요. 좌표 범위를 먼저 제한하고 내적을 좌표나 중심 기준으로 바꾸어 극값의 성립 위치를 점검합니다(19·20번 대비).