양재고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

양재고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 삼각함수그래프입니다. 지수와 로그의 계산 법칙에서 함수의 성질로 이어지고, 삼각함수의 각과 그래프 해석까지 다루는 시험입니다.

초반에는 밑의 변환, 로그함수의 정의역, 지수함수를 이용한 대소 비교, 동경의 사분면처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 로그부등식을 자연수 개수로 바꾸거나 판별식을 삼각부등식으로 바꾸는 등 서로 다른 표현을 연결해야 합니다. 공식을 아는 것에 더해 어느 조건을 먼저 정리할지 판단하는 연습이 필요합니다.

후반에는 그래프에서 계수를 복원하고, 구간별 치역을 맞추며, 반복 축소의 자연수 조건을 소인수분해로 해석합니다. 자동 분류 기준 어려움인 서술·단답형에서는 결과만 적기보다 조건이 식으로 바뀌는 근거를 정리해 두세요. 특히 치환한 변수와 원래 변수의 범위를 구별하는 습관이 여러 단원에 공통으로 쓰입니다.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 후반 조건 연결로

1~4번은 자동 분류 기준 쉬움에 해당합니다. 식을 간단히 하거나 기본 성질을 바로 적용하는 구간이지만, 로그의 진수는 양수라는 조건과 음의 각을 대표각으로 바꾸는 과정에서 실수가 날 수 있습니다. 빠른 처리보다 짧은 확인 절차를 갖추는 것이 먼저입니다.

보통 문항에는 개념 구분과 조건 검사가 함께 들어갑니다. 5번은 거듭제곱근 전체와 실수인 거듭제곱근을 구별하고, 11번은 치환한 값의 범위에서 절댓값의 최대·최소를 판단합니다. 14·16번은 계산으로 얻은 후보를 로그의 정의역과 대조해야 하므로, 보통이라는 분류를 단순 계산형으로 받아들이지 마세요.

10·13번을 지난 뒤에도 보통 문항이 남아 있으므로 한 문제에 오래 머물지 않는 운영이 필요합니다. 17~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 다만 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않으며, 후반에서는 조건 해석과 경우 정리에 시간이 더 들 수 있다는 준비 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 로그함수의 비중과 삼각함수그래프의 확장

가장 많이 나온 로그함수는 정의역부터 부등식, 대소 비교, 좌표와 넓이, 구간별 함수의 치역까지 폭이 넓습니다. 2번의 진수 조건을 기초로 14번에서는 여러 진수 조건의 교집합을 구하고, 18번에서는 각 구간이 만드는 치역을 함께 맞춥니다. 정의역을 적는 습관을 고난도 학습에서도 유지해야 합니다.

삼각함수그래프는 12·13·17·21번입니다. 판별식으로 각의 범위를 구하는 유형, 여러 주기에 걸친 해를 정리하는 유형, 도형의 넓이를 수평선과의 교점으로 바꾸는 유형이 포함됩니다. 특히 21번은 치환한 값의 개수와 원래 각의 개수가 달라질 수 있어, 그래프와 식을 번갈아 확인해야 합니다.

지수와 지수함수도 각각 다른 방식으로 후반 문제와 연결됩니다. 15·19번은 자연수가 되는 조건을 거듭제곱과 소인수 지수로 해석하고, 20번은 교점 관계와 합성함수 조건을 결합합니다. 삼각함수의 4·7·9번에서는 사분면과 대칭을 정확히 다루는 것이 그래프 단원을 준비하는 기반이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 변환한 식에서 얻은 후보를 원래 조건으로 되돌려 확인해야 한다는 것입니다. 치역의 경계, 자연수 조건, 각의 범위를 풀이 옆에 남겨 두면 마지막 검증이 쉬워집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 성질이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 10·13번에서 비교나 해의 배열이 길어지면 표시하고 뒤의 보통 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 17~21번을 위해 시간을 남기되, 서술·단답형도 먼저 훑어 자신이 익숙한 자연수 조건이나 함수 관계부터 접근하세요.

계산 전에 조건을 짧게 적는 습관으로 재풀이 시간을 줄이세요. 14번은 진수와 분모의 부호, 16번은 공통 정의역과 높이의 부호, 20번은 함수식을 쓸 수 있는 입력 범위가 중요합니다. 식을 단순화한 뒤에야 조건을 찾으려 하면 허용되지 않는 후보를 다시 계산하기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 6번의 자연수 구간 양 끝, 9·13번의 각의 범위, 18번의 치역 경계, 21번의 제외되는 끝점을 우선 확인하세요. 서술·단답형 연습에서는 식을 세운 이유와 후보를 제외한 이유까지 써 보세요. 실제 시험 시간 정보는 자료에 없으므로 분 단위 배분은 자신의 풀이 기록을 바탕으로 조정하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수·로그의 기본 성질과 거듭제곱근의 의미를 복습하세요. 밑의 변환과 실수인 근의 구분을 말로 설명해 보세요(1·3·5번 대비).
2. 로그부등식은 진수 조건부터 적는 순서로 연습하세요. 절댓값 조건을 구간으로 바꾸고 자연수나 정수를 마지막에 골라내세요(2·6·10·14번 대비).
3. 동경의 사분면과 대칭을 그림으로 확인하세요. 호도법, 좌표의 부호, 부채꼴 넓이를 연결해 정리하세요(4·7·9번 대비).
4. 함수의 범위와 그래프를 함께 다루세요. 치환한 값의 구간, 절편과 교점, 조각별 치역을 각각 표시해 보세요(11·16·18번 대비).
5. 삼각방정식은 치환 뒤 원래 각으로 돌아오는 연습을 하세요. 주기와 대칭으로 해를 배열하고 경계에서 해의 개수가 달라지는 이유를 적으세요(12·13·17·21번 대비).
6. 자연수 조건은 소인수 지수로, 반복되는 함수 조건은 합성 관계로 바꾸어 보세요. 가능한 후보의 범위를 먼저 좁히고 적용 조건을 검토하세요(15·19·20번 대비).