동탄고등학교
2022년 3학년 1학기 중간고사

동탄고 3학년 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 내용은 수열의 수렴과 발산, 급수, 여러 가지 미분법, 접선을 이용한 도함수의 활용입니다. 수열의 극한에서 미분의 활용까지 이어지지만, 모든 문항이 미분 계산으로 해결되는 것은 아닙니다.

기본 문항에서는 유리화, 부분분수, 등비급수, 로그함수의 미분처럼 익숙한 도구를 정확하게 적용하는지가 중요합니다. 그 사이에 도형의 길이를 복원하는 삼각함수 문항과 급수 명제의 참·거짓을 판단하는 문항이 들어 있어 계산 연습만으로는 대비가 부족합니다.

난도가 높은 부분에서는 풀이의 출발점을 찾는 능력이 필요합니다. 원과 직선의 거리 관계를 수열로 표현하거나, 역함수 관계에서 원래 함수를 복원하거나, 접선과 곡선의 교점 조건을 따져야 합니다. 각 문항에서 먼저 정리할 대상이 무엇인지 설명하는 방식으로 복습하세요.

난이도 분포 — 어려움 문항이 앞·중간·뒤에 분산

자동 분류 기준에서 쉬움에 해당하는 문항은 절반입니다. 그러나 이 구간도 공비의 경계 조건, 부분합과 일반항의 관계, 로그의 밑, 매개변수 미분의 분모처럼 확인할 사항이 있습니다. 쉬운 문항을 빨리 푸는 것과 조건 확인을 생략하는 것은 구분해야 합니다.

보통 구간은 미분 전후의 연결이 중요합니다. 11번은 연속성과 좌우 미분계수를 함께 맞추고, 15번은 극한을 미분계수로 바꾼 뒤 평행이동된 함수의 역함수에 적용합니다. 16번은 로그미분 뒤 다시 미분해야 하므로 중간 식의 정리가 계산량을 좌우합니다.

어려움은 끝부분에만 모여 있지 않습니다. 6번에서 도형 해석이 막혀도 이후 기본 문항으로 이동할 수 있고, 12번을 보류하더라도 13번은 별도로 접근할 수 있습니다. 후반의 18·20번을 위해 시간을 남기되, 중간의 익숙한 문항까지 함께 놓치지 않는 순서가 좋습니다.

출제 단원 — 여러가지미분법이 중심, 수열의극한도 큰 비중

여러가지미분법은 로그함수, 합성함수, 역함수, 매개변수 함수, 몫의 미분과 이계도함수까지 다양한 도구를 다룹니다. 같은 단원으로 분류된 10·19번은 삼각함수의 덧셈정리와 식의 해석이 중심입니다. 단원명만 보고 모든 문항을 도함수 계산 문제로 예상하지 마세요.

수열의극한에서는 기본적인 수렴 판정과 극한의 성질에서 출발해 도형과 연결한 극한, 거듭제곱을 포함한 극한 함수까지 확장됩니다. 6·20번을 대비하려면 극한 기호를 바로 계산하기보다 그 안의 식이 어떤 대상을 나타내는지 정리하는 연습이 필요합니다.

급수는 부분분수와 등비급수의 합뿐 아니라 수렴의 논리도 다룹니다. 도함수의활용은 18번만 해당하지만 접선의 후보를 나누고 교점을 판단하는 과정이 길어 별도 연습이 필요합니다. 문항 수가 적은 단원도 풀이에 드는 시간을 기준으로 학습 비중을 조절하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준의 어려움 문항 가운데 분석상 고난도 문항으로 살펴본 예입니다. 공통점은 공식을 적용하기 전에 대상의 위치나 구간을 확정해야 한다는 것입니다. 오답을 정리할 때 계산 실수와 경우를 빠뜨린 실수를 구분하면 다음 연습의 방향을 잡기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 수렴 판정, 유리화, 급수의 기본 계산처럼 시작 방법이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 6번의 거리 관계나 12번의 역함수 해석이 바로 잡히지 않으면 필요한 관계만 메모하고 이동하는 편이 좋습니다. 앞번호에 있다는 이유로 오래 붙잡을 필요는 없습니다.

중간 구간에서는 11번의 연속 조건, 13번의 변화율 비, 15번의 평행이동을 짧은 메모로 남기세요. 16번은 첫 도함수를 정리한 뒤 다시 미분하면 검산하기 쉽습니다. 후반의 18·20번은 경우를 나눌 공간이 필요하므로 기본 문항 검산과 별도로 다시 접근할 시간을 남겨 두세요.

마지막 확인에서는 공비 범위의 끝점, 나눗셈의 분모, 로그미분의 정의역, 접선의 사분면 조건을 살피세요. 특히 20번은 경계의 함숫값과 좌우극한을 별도로 확인해야 합니다. 계산이 길었던 문항은 처음부터 다시 풀기보다 누락한 조건과 대응점이 없는지 점검하는 것이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수렴과 극한의 기본 도구부터 정리하세요. 공비 경계, 극한의 나눗셈 조건, 유리화, 자연상수의 표준형을 각각 설명하며 풀어 보세요(1·2·4·5·8번 대비).
2. 급수 계산과 수렴 논리를 나누어 연습하세요. 부분합에서 일반항 복원하기, 부분분수, 등비급수 분리와 함께 명제의 반례를 만드는 연습을 하세요(3·7·17번 대비).
3. 삼각형의 길이와 삼각비를 연결하세요. 그림에 직각삼각형별 길이를 적고 덧셈정리를 선택하는 과정을 연습하세요(10·19번 대비).
4. 미분법은 적용 조건까지 함께 익히세요. 곱·몫·합성함수·매개변수 미분을 구분하고 로그미분 후 이계도함수까지 정리하세요(9·11·13·14·16번 대비).
5. 역함수 문제는 대응표부터 만드세요. 원래 함수의 입력과 출력, 평행이동 뒤의 입력을 구분한 다음 미분계수를 연결하세요(12·15번 대비).
6. 마지막에는 도형과 극한, 접선의 교점, 곱의 연속성을 묶어 연습하세요. 풀이 전 경우 분류를 먼저 적고 누락한 경계가 있는지 검토하세요(6·18·20번 대비).