동탄고등학교
2024년 3학년 1학기 중간고사

동탄고 고3 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 수열의 극한, 급수, 여러 가지 미분법입니다. 객관식 18문항과 서술·단답형 3문항으로 구성되며, 미분 계산뿐 아니라 삼각함수와 지수·로그함수의 극한도 다룹니다.

공식 하나로 끝나는 문제와 여러 개념을 이어야 하는 문제가 섞여 있습니다. 몫의 미분법이나 음함수 미분을 확인하는 문항 사이에 접선의 개수, 도형의 넓이, 급수의 수렴 조건을 해석하는 문항이 들어갑니다. 번호 순서가 곧 풀이 부담의 순서는 아닙니다.

후반부는 풀이의 출발점을 찾는 일이 중요합니다. 복소수의 켤레 성질을 수열의 극한에 연결하거나, 접점의 좌표를 매개변수의 함수로 해석해야 합니다. 계산 연습에 더해 조건을 관계식으로 번역하고 그 관계를 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반과 서술형에 이어지는 어려움

자동 분류 기준 쉬움은 1·3·4·7번입니다. 극한의 대소 관계, 직선이 이루는 각, 몫의 미분법, 음함수 미분처럼 기본 원리를 확인합니다. 계산이 짧아 보여도 부호나 미분 대상이 바뀌는 지점은 확인해야 합니다.

보통 문항은 2·5·8·13·14·15번입니다. 밑의 범위에 따른 극한의 경우 나누기, 급수 명제의 반례, 역함수의 대응점 찾기처럼 개념을 정확히 써야 합니다. 어려움 문항 사이에 놓인 이 구간을 먼저 마무리하면 후반에 쓸 여유를 확보할 수 있습니다.

9~12번에서는 도형을 포함한 극한과 급수 문제가 이어지고, 16~21번은 모두 어려움입니다. 특히 서술·단답형 19~21번은 필요한 관계를 직접 찾아야 하므로, 객관식 끝까지 푼 뒤에야 서술형을 살피는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 여러가지미분법 중심, 급수의 연결 문제도 주의

여러가지미분법은 12문항으로 가장 많습니다. 몫·음함수·역함수·매개변수 미분에 더해 미분계수의 정의와 삼각함수의 극한까지 폭넓게 확인합니다. 단원 이름만 보고 도함수 계산만 반복하기보다, 미분할 수 있는 조건과 극한의 기본형을 함께 정리해야 합니다.

급수는 5·10·11·12·17번입니다. 수렴과 발산의 논리, 정수 조건, 닮음 도형, 주기성, 부분분수까지 접근이 다양합니다. 특히 17번은 지수·로그함수의 극한으로 일반항을 먼저 정리한 뒤 급수로 넘어가므로 단원별로 분리한 연습만으로는 연결이 끊기기 쉽습니다.

수열의극한은 1·2·9·19번입니다. 부등식을 정리하는 기본형에서 좌표평면의 넓이와 복소수의 거듭제곱을 활용하는 형태로 넓어집니다. 복잡한 표현을 익숙한 지수 꼴로 바꾼 뒤 어떤 항을 기준으로 나눌지 판단하는 연습이 공통으로 도움이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들의 공통 부담은 계산에 앞서 적절한 판단 대상을 정해야 한다는 점입니다. 접점과 접선, 극한으로 정한 수열과 그 급수, 안쪽 함수와 합성함수를 각각 구분해 보세요. 자동 분류상 어려움인 문항 가운데 연결 과정이 특히 중요한 예로 선정한 것이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1·3·4·7번처럼 풀이 방향이 바로 보이는 문항을 처리하고, 2·5·8·13·14·15번에서 개념 판단과 계산을 마무리하세요. 초반의 6번에서 접선 개수 해석이 막힌다면 기울기 함수까지만 정리하고 표시해 두는 방식이 좋습니다. 번호 순서대로 완결하려다 풀 수 있는 문항을 놓치지 마세요.

중반의 9~12번은 좌표·도형·정수 조건을 식으로 바꾸는 시간을 따로 고려해야 합니다. 도형에는 필요한 길이와 각만 표시하고 급수에서는 공비와 수렴 범위를 먼저 적으세요. 서술·단답형 19~21번은 시험 도중 미리 훑어 켤레복소수, 접선 조건, 좌우미분계수 중 어느 관계부터 적을지 정해 두세요.

검산할 때는 계산 전체를 반복하기보다 조건을 확인하세요. 2번은 밑의 경계 경우, 10번은 열린 구간의 끝점, 12번은 극한의 존재 여부, 15번은 나누는 값의 조건이 중요합니다. 20번에서는 로그의 정의역을, 21번에서는 식이 바뀌는 지점과 절댓값 내부의 영점을 각각 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분을 정확히 정리하세요. 몫·음함수·역함수 미분에서 입력과 대응점을 표시하고, 계산 뒤 원래 조건으로 확인하세요(4·7·8·15번 대비).
2. 극한의 기준을 고르는 연습을 하세요. 부등식의 양쪽 극한, 밑의 범위에 따른 지수항의 비교, 진동항을 감싸는 부등식을 연결하세요(1·2·13·16번 대비).
3. 급수의 수렴을 합 공식보다 먼저 판단하세요. 명제에는 반례를 만들고, 공비 조건을 정수 범위로 바꾸며, 주기성으로 항을 골라 보세요(5·10·12번 대비).
4. 도형을 식으로 옮기는 연습을 하세요. 좌표와 닮음으로 길이를 정리한 뒤 넓이 또는 둘레를 만들고 마지막에 극한·급수를 적용하세요(9·11·18번 대비).
5. 극한으로 정의된 대상을 다시 활용하세요. 미분계수의 정의로 함수를 정리하거나 지수·로그의 기본 극한으로 일반항을 구한 뒤 다음 계산으로 이어 가세요(14·17번 대비).
6. 서술형은 관계식의 근거까지 작성하세요. 켤레복소수의 곱, 수평 접선 조건, 경계점의 좌우미분계수 비교를 말과 식으로 연결하세요(19·20·21번 대비).