상명고등학교
2026년 3학년 2학기 중간고사

상명고 3학년 2학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이 시험은 수열의 극한과 급수부터 삼각함수 관련 내용, 여러 가지 미분법과 도함수의 활용, 여러 가지 적분법과 정적분의 활용까지 다룹니다. 총 22문항이 모두 객관식이므로 별도의 서술형 작성 시간보다 문제별 접근 가능성을 판단하는 일이 중요합니다.

초반에는 극한의 기본 계산, 등비급수와 부분분수, 삼각함수의 덧셈정리를 확인합니다. 이후에는 곱과 합성함수의 미분, 로그미분, 부분적분 등 표준적인 계산법이 나옵니다. 기본 공식을 독립적으로 익히는 단계에서 끝내지 말고 조건에 맞게 선택하는 연습까지 해야 합니다.

후반부의 부담은 단순히 계산량이 많다는 데 있지 않습니다. 극한의 존재로 계수를 제한하거나, 역함수 관계를 다른 합성 관계로 바꾸거나, 그래프와 수평선의 교점 개수를 판단해야 합니다. 따라서 식을 곧바로 전개하기보다 먼저 어떤 조건을 확보할지 정하는 풀이가 필요합니다.

난이도 분포 — 후반부에 이어지는 어려움 문항

쉬움 구간에서는 계산의 정확성을 확인하고 시간을 확보하세요. 1~4번은 기본 변형으로 접근할 수 있고, 11번은 단면의 넓이를 적분하는 구조입니다. 번호가 뒤에 있다고 무조건 복잡한 문제로 생각하면 풀 수 있는 문항을 남길 수 있습니다.

보통 구간도 일률적인 대입 문제는 아닙니다. 8번은 급수의 수렴과 발산에 관한 명제의 전제를 확인해야 하며, 13번은 필요한 구간의 도함수만 골라 적분해야 합니다. 익숙한 형태라도 정의역과 적용 구간을 표시한 뒤 계산하는 편이 좋습니다.

9번과 12번을 지나면 14~22번이 자동 분류 기준 어려움으로 이어집니다. 도형, 역함수, 수열, 정적분이 번갈아 나오므로 같은 방식으로 밀어붙이기 어렵습니다. 한 문항에서 접근이 막히면 다음 문제의 핵심 관계를 먼저 살피는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 미분법의 비중과 적분의 연결

가장 많은 여러가지미분법에서는 직접 미분하는 5번과 로그미분을 쓰는 10번 이후, 역함수와 합성 관계를 해석하는 18·20번으로 요구가 바뀝니다. 19번은 등록 단원은 여러가지미분법이지만 실제 핵심은 도형의 길이와 넓이를 삼각함수로 나타내고 극한을 처리하는 것입니다.

적분 영역에서는 적분식 자체의 계산과 활용 문제를 함께 대비해야 합니다. 12번은 정적분이 포함된 극한을 미분계수로 읽고, 16번은 적분으로 정의된 함수의 도함수를 구해 곡선의 길이에 연결합니다. 단원별 문제 수만 보고 적분 기법을 반복하기보다 미분과 적분 사이의 변환을 연습하세요.

수열의극한은 기본 계산인 1번과 조건 해석이 필요한 9·17번의 차이가 큽니다. 급수 역시 합을 구하는 문제뿐 아니라 수렴 명제가 포함됩니다. 삼각함수의미분으로 등록된 4번은 수식상 덧셈정리 계산이므로, 등록 단원과 실제로 사용하는 개념을 함께 확인해야 합니다.

문항별 정리

문항별 난이도는 자동 분류 기준입니다. 아래에서는 원문의 수치와 답을 옮기지 않고 핵심 발상과 점검할 조건을 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 중간에 얻은 관계를 다음 단계의 도구로 사용하는 구조입니다. 처음부터 최종 계산식을 찾기보다 대응점, 그래프 개형, 치환 구간을 차례로 확정하세요. 분석상 고난도 문항으로 선정한 것이며 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 1~8번과 10·11·13번처럼 풀이 방향을 확인할 수 있는 문제부터 해결하세요. 9번에서 극한 조건을 정리하지 못한 채 전개만 길어지면 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 전 문항이 객관식이어도 중간 풀이의 부호와 조건을 남겨 두어야 재검토할 때 계산을 반복하지 않습니다.

후반부에서는 문제마다 첫 단계의 성공 여부를 기준으로 시간을 조절하세요. 15번은 대칭에 따른 넓이 관계, 16번은 적분함수의 도함수, 17번은 부등식의 양쪽 극한을 확보했는지 확인합니다. 핵심 관계를 못 잡은 문제와 계산만 남은 문제를 구분하면 남은 시간을 배분하기가 수월합니다.

검토할 때는 6·10번의 로그 관련 정의역, 8번의 수렴 전제, 16번의 제곱근과 부호, 17번의 공비 범위, 20번의 역함수 대응점을 우선 확인하세요. 14번에서는 접점에서 미분계수가 같다는 사실뿐 아니라 두 함수의 대소가 실제로 바뀌는지도 살펴야 합니다. 조건을 계산 후에 떠올리지 말고 풀이 첫 줄 옆에 적어 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한과 급수의 기본 변형부터 안정시키세요. 최고차항으로 나누기, 등비급수의 수렴 조건, 부분분수의 소거 구조를 구분하고 급수 명제에는 반례를 만들어 보세요(1·2·3·8번 대비).
2. 곱·합성함수의 미분과 로그미분을 묶어 연습하세요. 미분 전에 정의역을 표시하고, 도함수의 부호로 최솟값을 확인하는 단계까지 이어 가세요(5·6·10번 대비).
3. 부분적분과 정적분의 기본정리를 복습하세요. 접선의 기울기에서 함수를 복원하는 문제와 함수의 증분을 적분으로 구하는 문제를 구분하세요(7·12·13번 대비).
4. 그래프의 위아래 관계를 정한 뒤 넓이와 길이를 계산하세요. 단면적, 역함수의 대칭, 적분함수의 미분을 각각 그림과 연결하세요(11·14·15·16번 대비).
5. 극한의 존재 조건과 부등식의 극한을 연습하세요. 사라져야 할 항을 차수별로 확인하는 문제와 양쪽에서 같은 극한으로 좁히는 문제를 나누어 복습하세요(9·17번 대비).
6. 역함수 관계와 도형 조건을 계산 가능한 식으로 바꾸세요. 대응점을 표시하고, 삼각함수의 기본 극한으로 정리되는 형태를 찾으세요(18·19·20번 대비).
7. 그래프의 교점 개수와 역함수를 포함한 적분을 마지막에 통합 연습하세요. 풀이를 다시 볼 때 계산 줄보다 개형과 치환을 선택한 근거를 먼저 설명하세요(21·22번 대비).