동탄고등학교
2025년 3학년 1학기 기말고사

동탄고 3학년 1학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 출제 단원은 여러가지미분법, 도함수의활용, 여러가지적분법입니다. 로그·지수·삼각함수의 미분과 적분에서 출발하여 접선, 운동, 실근 개수, 극값과 그래프까지 연결됩니다.

초반에는 접선의 방정식, 몫의 미분, 음함수 미분, 삼각함수 적분 등 기본 절차를 정확히 적용해야 합니다. 중간에는 정적분으로 정의된 함수를 해석하거나 적분식을 상수로 치환하는 문제가 이어집니다. 같은 계산법을 반복하기보다 주어진 식에서 어떤 구조를 읽어야 하는지 판단해야 합니다.

후반에는 계산 결과를 다시 그래프나 부등식 조건에 연결하는 문제가 많습니다. 도함수가 사라지는 지점을 찾은 뒤 부호 변화를 살피고, 교점이나 접선의 개수를 구간에 맞게 해석해야 합니다. 서술·단답형 19번도 극값의 존재 조건과 그래프의 근거를 함께 정리해야 하므로 풀이를 문장과 표로 표현하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 10번부터 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1~5번과 8번입니다. 공식의 선택이 비교적 분명하지만, 음함수 미분에서 안쪽 함수의 미분을 빠뜨리거나 평면 운동의 속도와 속력을 혼동하면 실수가 생깁니다. 이 구간은 빠르게 푸는 것과 마지막 계산을 정확히 확인하는 것을 함께 연습하세요.

보통 문항인 6·7·9번에서는 식의 구조를 보는 능력이 필요합니다. 지수식을 로그 적분 형태로 바꾸거나, 일정한 구간의 정적분을 상수로 두거나, 함수와 그 도함수의 곱을 치환적분으로 읽는 것이 출발점입니다. 식을 무조건 전개하기 전에 적분법을 선택하는 이유를 말해 보세요.

10~20번은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 역함수 미분과 부분적분에서 시작해 실근과 접선의 개수, 전 구간 부등식, 도형의 변화율로 이어집니다. 이는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 다만 후반을 순서대로 끝내려다 한 문항에 오래 머물지 않도록 전체 문제를 살펴볼 필요가 있습니다.

출제 단원 — 적분법의 선택과 도함수의 해석

가장 많은 여러가지적분법에서는 기본 부정적분뿐 아니라 정적분으로 주어진 관계를 변형하는 능력이 중요합니다. 7번은 정적분을 상수로 두는 발상, 11번은 곱 관계와 부분적분의 연결, 12번은 적분식의 미분과 대칭성의 활용을 확인합니다. 18번에서는 적분한 뒤 부등식이 성립하는 조건까지 검토해야 합니다.

도함수의활용은 접선과 속력의 기본형에서 실근 개수와 극값의 종합형으로 확장됩니다. 13·14번은 원래 방정식을 바로 풀기보다 그래프와 수평선의 교점으로 바꾸는 것이 유리합니다. 15·17·19번은 도함수의 값 자체보다 부호, 극값의 존재, 정의역 안에서의 변화에 주목해야 합니다.

여러가지미분법은 계산의 도구이면서 조건 해석의 기반입니다. 10번에서는 역함수의 입력과 대응점을 구별해야 하고, 16번에서는 도형의 길이도 각에 따라 변한다는 점을 반영해야 합니다. 20번은 합성함수 미분에 구간별 정의와 연속 조건이 결합되어 있으므로 미분식만 외워서는 접근하기 어렵습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 세운 뒤 정의역과 경계를 다시 검토해야 합니다. 계산을 시작하기 전에 구간을 적고, 마지막에 각 후보가 그 구간과 원래 조건을 만족하는지 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형인 초반 문항과 구조가 보이는 적분 문항을 먼저 처리하세요. 6·7번에서 변형이 바로 떠오르지 않으면 표시하고 8·9번을 확인하는 방식이 좋습니다. 10번 이후에는 새로운 조건이 계속 이어지므로 앞 문제를 마쳐야 다음 문제를 볼 수 있다는 생각을 버리고, 출발식을 세울 수 있는 문항부터 접근하세요.

서술·단답형 19번의 풀이 시간도 따로 남겨 두세요. 극값이 존재하는 조건에서는 도함수의 영점이 정의역 안에 있는지 확인하고, 그래프에서는 증가·감소와 오목·볼록의 근거를 구별해서 적어야 합니다. 계산이 길어지는 후반 문항은 조건을 식으로 옮긴 단계까지 적어 두면 다시 돌아왔을 때 판단을 이어가기 쉽습니다.

검토할 때는 9번의 치환 구간, 10번의 역함수 대응점, 13·14번의 경계 높이에서의 교점 개수를 확인하세요. 16번은 도형에서 지정한 교점에 해당하는 길이를 선택했는지, 18번은 적분상수의 연결을 반영했는지 살펴야 합니다. 20번에서는 연결점에서의 연속과 한쪽 방향 미분을 구별해 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 로그·지수함수의 미분과 접선, 평면 운동의 속력을 복습하세요. 미분값을 구한 뒤 무엇을 계산해야 하는지까지 확인하세요(1·2·3·5번 대비).
2. 기본 적분과 치환적분을 묶어 연습하세요. 피적분함수 안에서 함수와 그 도함수의 관계를 찾고 치환 후 구간을 함께 적으세요(4·6·8·9번 대비).
3. 정적분의 상수 처리와 부분적분을 연습하세요. 경계항이 없어지는 이유와 적분식의 미분으로 얻는 관계를 설명해 보세요(7·11·12번 대비).
4. 역함수와 도형의 변화율을 정리하세요. 대응점의 좌표를 따로 적고 길이와 각의 관계식을 만든 뒤 미분하세요(10·16번 대비).
5. 실근과 접선 개수, 합성함수의 극값을 그래프로 다루세요. 도함수의 영점뿐 아니라 부호 변화와 경계의 예외를 확인하세요(13·14·15·17·19번 대비).
6. 구간별 함수는 연속 조건을 먼저 정리하고 전 구간 부등식과 한쪽 방향 미분으로 확장하세요. 구간을 나누는 근거를 문장으로 남기세요(18·20번 대비).