광문고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

광문고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

광문고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 출제 내용은 삼각함수의 활용, 등차·등비수열, 여러 가지 수열의 합, 수학적 귀납법과 귀납적 정의, 거듭제곱근입니다. 삼각형의 넓이와 사인·코사인법칙을 수열 단원과 함께 준비해야 하는 구성입니다.

수열로 분류된 문항에서도 도형 해석이 필요합니다. 11번은 반복되는 반원의 접촉 관계에서 공비를 찾고, 12번은 부채꼴의 조건에서 넓이의 일반항을 만듭니다. 21번도 원과 직선의 위치 관계를 먼저 해석해야 합을 정리할 수 있습니다. 단원 이름만 보고 풀이 도구를 제한하면 출발이 늦어질 수 있습니다.

서술·단답형은 끝에만 모여 있지 않습니다. 15번의 소금물 변화와 16번의 삼각형 조건을 처리한 뒤에도 수열과 도형 문제가 이어집니다. 문제를 읽을 때 구해야 할 대상, 주어진 조건, 계산을 시작할 관계식을 나누어 적는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 조건 연결형 문항

쉬움으로 분류된 1~3번은 삼각형의 넓이, 합 기호의 성질, 점화식의 직접 대입을 확인합니다. 보통인 4·7·10·13·15번에서는 공식에 필요한 대상을 정확히 고르거나 귀납 단계와 반복 시행의 의미를 읽어야 합니다. 기본형에서도 상수항을 더하는 횟수와 시행 전후의 구분을 놓치지 마세요.

5·6번부터 자동 분류 기준 어려움 문항이 나타납니다. 이후에도 보통 문항이 섞이므로 앞에서 막혔다고 뒤의 풀이 기회까지 미룰 필요는 없습니다. 16~21번은 모두 어려움으로 분류되어 있으며, 조건을 연결한 뒤 부호·범위·합의 경계를 검토하는 과정이 중요합니다.

이 분포는 자동 분류 기준으로 읽어야 하며 개인의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 여러 개념을 이어 쓰는 문제가 많으므로, 공식을 기억하는 연습과 그 공식을 적용할 대상을 정하는 연습을 함께 해야 합니다.

출제 단원 — 수열의 합과 삼각함수 활용의 결합

삼각함수활용은 1·4번의 넓이와 사인법칙에서 출발해 6번의 최솟값, 14번의 원과 삼각형, 16번의 내분점과 외접원, 19번의 여러 관계 연결로 이어집니다. 어느 삼각형에서 어느 변과 대각을 대응시키는지 표시하고, 새로운 삼각형으로 옮겨 갈 때 각의 관계를 확인하는 연습이 필요합니다.

수열의합은 단순한 합 기호 계산부터 다룹니다. 5번은 겹쳐 쓴 합을 일반항으로 바꾸고, 18번은 유리함수의 대칭성을 이용하며, 20번은 홀짝에 따라 항을 묶습니다. 21번은 도형에서 얻은 근호식을 유리화해 소거되는 합으로 바꿉니다. 합 공식을 고르기 전에 일반항의 형태를 정리하는 것이 공통 과제입니다.

수학적귀납법에는 증명뿐 아니라 귀납적으로 정의된 수열의 도형·상황 활용이 포함됩니다. 등차등비수열에서는 좌표의 내분·외분과 반복 도형, 정수 조건까지 다루며, 지수의 13번은 거듭제곱근의 크기를 정수 거듭제곱과 비교합니다. 분류가 다른 문항도 조건을 식으로 바꾼다는 관점에서 연결해 복습하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강동구의 구성 차이

같은 2025학년도 2학년 1학기 기말고사 수학I을 치른 강동구 이웃 학교들의 평균 문항 수는 22.0문항, 서술·단답형은 2.5문항입니다. 광문고는 전체 21문항으로 이 평균보다 적지만 서술·단답형은 5문항으로 많습니다. 전체 문항 수만으로 풀이에 필요한 시간을 판단하기 어려운 이유입니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 광문고가 62%, 이웃 학교 평균은 66%이며, 광문고는 3개교 중 2위입니다. 한영고등학교와 배재고등학교는 등차등비수열이 가장 많은 반면 광문고는 삼각함수활용과 수열의합이 함께 중심을 이룹니다. 어려움 비율의 차이를 실제 점수 차이로 해석하지 말고, 어떤 내용을 더 준비할지 판단하는 근거로 읽으세요.

광문고를 준비할 때는 등차·등비수열의 기본식을 익힌 뒤 도형에서 일반항을 만들고 합으로 이어 가는 문제에 시간을 더 배정하세요. 특히 20·21번처럼 중간 변환이 필요한 서술형은 계산 결과만 확인하기보다 경우를 나눈 이유와 식이 바뀌는 근거를 직접 써 보는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 과정의 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 앞 단계의 결과가 다음 단계의 입력이 됩니다. 막혔을 때 계산을 반복하기보다 현재까지 얻은 관계와 아직 사용하지 않은 조건을 나누어 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 확보한 뒤 조건 연결이 긴 문항으로 돌아오세요. 5·6번에서 전개나 최솟값 검토가 길어지면 표시하고 7번 이후를 살펴보는 운영이 가능합니다. 서술·단답형이 중간부터 등장하므로 전체 형식을 먼저 훑고, 15번처럼 반복 과정이 비교적 명확한 문항도 미리 확인하세요.

도형에서는 필요한 삼각형만 따로 표시하면 관계를 찾는 시간을 줄일 수 있습니다. 6번은 부등식의 등호 조건과 점의 이동 범위를, 14번은 보각 관계를, 16번은 외접원이 적용되는 작은 삼각형을 확인하세요. 19번에서는 수선의 발이 선분 위에 있어야 거리의 최솟값으로 사용할 수 있습니다.

수열에서는 계산 검토보다 지표 검토를 먼저 하세요. 5·12번은 일반항과 합의 끝 지표, 15번은 초기 상태와 시행 횟수, 17번은 모든 항의 정수·자연수 조건이 중요합니다. 18번은 경계 이후의 부호, 20번은 홀짝별 시작 항, 21번은 소거 후 남는 양 끝 항을 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 넓이 공식과 사인법칙의 기본형을 먼저 정리하세요. 변과 각의 대응, 외접원의 지름과 반지름을 말로 설명해 보세요(1·4번 대비).
2. 합 기호의 분리와 점화식의 순차 대입을 복습하세요. 상수항의 반복 횟수와 현재 항·다음 항의 지표를 확인하세요(2·3·7번 대비).
3. 등차·등비수열의 조건을 첫째항·공차·공비로 통일하세요. 내분·외분과 정수 조건을 적용한 뒤 후보를 검토하세요(8·10·17번 대비).
4. 도형과 반복 상황을 수열로 바꾸는 연습을 하세요. 접촉하는 반원의 거리, 부채꼴의 넓이, 소금의 양을 각각 일반항이나 점화식으로 나타내세요(9·11·12·15번 대비).
5. 삼각형이 나뉜 도형에서 각의 관계부터 표시하세요. 넓이 조건과 부등식, 사인·코사인법칙을 어떤 순서로 쓸지 적으세요(6·14·16·19번 대비).
6. 합을 계산하기 전 묶는 기준을 찾아보세요. 대칭 짝짓기, 홀짝 분리, 유리화에 따른 소거를 따로 연습한 뒤 섞어서 풀어 보세요(5·18·20·21번 대비).
7. 거듭제곱근의 대소를 정수 거듭제곱으로 비교하세요. 값이 일정한 지표 구간을 나누고 경계의 부등호와 항의 개수를 확인하세요(13번 대비).