매원고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

매원고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

매원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 삼각함수, 삼각함수그래프, 삼각함수활용, 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 삼각함수의 성질을 읽는 능력과 수열의 관계를 식으로 바꾸는 능력을 함께 확인하는 구성입니다.

삼각함수에서는 그래프의 주기와 평행이동, 사인법칙과 코사인법칙을 정확히 구분해야 합니다. 수열에서는 항의 값을 차례로 구하는 기본형뿐 아니라 부분합의 차, 항의 부호, 조건이 바뀌는 지점까지 살펴야 합니다. 같은 단원 안에서도 계산의 출발점을 고르는 일이 중요합니다.

수학적귀납법으로 분류된 문항은 귀납적 정의와 점화식 해석을 폭넓게 포함합니다. 단원명만 보고 증명 문제만 준비하기보다, 합이나 도형에서 반복 관계를 찾아 일반항으로 정리하는 연습을 하세요. 후반에서 막히더라도 뒤의 기본형을 확인할 수 있도록 전체 문항을 훑는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반의 수열 조건 해석에 집중

쉬움 구간에서는 합의 성질, 사인법칙, 그래프의 기본 정보, 점화식의 반복 적용을 확인합니다. 짧은 계산이라도 상수항을 더하는 횟수나 변과 대각의 대응을 틀리면 결과가 달라집니다. 기본형을 빨리 푸는 연습은 계산을 생략하는 것이 아니라 필요한 근거만 정확하게 남기는 연습입니다.

보통 구간은 조건을 한 번 변환해야 접근이 쉬워집니다. 9번은 중근 조건을 삼각함수 관계로 바꾸고, 10·11번은 공차의 부호와 항의 부호를 활용합니다. 14·21번처럼 합에서 일반항을 구하는 문항도 있어, 앞 번호부터 난도가 일정하게 높아지는 배치는 아닙니다.

12·13번 이후에는 어려움 문항이 반복되며 15~19번에 이어집니다. 다만 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 마지막까지 모두 같은 부담이라고 판단하지 말고, 20번의 넓이 계산과 21번의 합 변형도 별도로 확인하세요.

출제 단원 — 수학적귀납법과 수열의 구조 파악

가장 많은 수학적귀납법 단원은 4번의 반복 계산에서 12번의 규칙 전환, 17번의 구간별 부분합, 18·19번의 도형 해석으로 확장됩니다. 조건을 그대로 대입하기보다 어떤 양을 수열의 항으로 잡을지 정하는 단계가 중요합니다. 좌표, 길이, 부분합처럼 표현이 달라도 반복 관계를 찾는다는 공통점이 있습니다.

등차등비수열에서는 첫째항과 공차·공비를 정한 뒤 추가 판단이 이어집니다. 10번은 부분합이 증가하다 감소하는 지점, 11번은 절댓값의 경우 구분, 13번은 정수 조건과 합의 최솟값을 다룹니다. 일반항을 구한 시점에서 풀이가 끝나는 것이 아니라 원래 조건으로 돌아와야 합니다.

삼각함수그래프는 3번의 기본 정보 읽기, 5번의 제한 구간 부등식, 15번의 점근선과 교점 높이 해석으로 이어집니다. 활용 단원은 외접원, 원에 내접한 사각형, 삼각형의 넓이를 구분해 준비하세요. 수열의합은 합의 선형성부터 일반항 복원과 부분분수까지 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 귀납적 수열의 비중 확대

작년과 올해 모두 수학I입니다. 자동 분류 기준 쉬움은 9문항에서 6문항으로 줄고 어려움은 6문항에서 7문항으로 늘었습니다. 총 문항은 줄었지만 이 분포만 보면 기본 적용 문항보다 조건 해석을 요구하는 문항에 더 대비할 필요가 있습니다. 실제 응시 난도의 상승 폭까지 이 자료로 단정할 수는 없습니다.

등차등비수열은 6문항에서 4문항, 삼각함수그래프는 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 수학적귀납법은 6문항에서 7문항으로 늘어 가장 많은 단원이 되었고, 수열의합과 삼각함수활용도 각각 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 기본 수열 공식과 귀납적 정의를 연결해 공부하는 편이 적절합니다.

작년 어려움 문항은 15·17·18·19·20·22번이었고 올해는 12·13·15·16·17·18·19번입니다. 올해는 어려움 구간이 더 앞에서 시작되므로 초반에 막혔을 때 풀이 순서를 조절하는 연습이 필요합니다. 서술·단답은 작년 21번에서 올해 20번으로 바뀌었으며, 후반을 형식이나 번호만으로 판단하지 마세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 표현을 바꾸어야 한다는 것입니다. 부분합은 항으로, 중점은 좌표식으로, 도형의 반복은 길이의 점화식으로 옮기는 첫 단계를 따로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~11번의 기본형과 보통 문항을 확인하되, 접근이 길어지는 문제에는 표시하고 넘어가세요. 12·13번에서 풀이가 멈추면 14번도 따로 확인하고, 15~19번을 모두 해결한 뒤에만 20·21번을 보려는 순서는 피하세요. 주어진 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 풀 수 있는 문항을 먼저 확보하는 방식으로 연습하세요.

20번은 서술·단답형이므로 넓이 공식에 대입하기 전에 각의 관계를 짧게 적어 두세요. 21번은 자료의 형식 분류상 객관식이지만 내용 학습에서는 일반항 복원과 부분분수 소거의 근거를 연결해 설명해 보세요. 풀이를 다시 읽을 때 어떤 조건을 사용했는지 알 수 있을 정도의 기록이 좋습니다.

마지막에는 5번의 구간 끝점, 11번의 공차 부호, 13번의 정수 범위를 확인하세요. 15번은 서로 다른 높이만 취하는지, 17번은 경계의 항을 빠뜨리지 않았는지가 중요합니다. 18번의 점 번호와 부분수열의 순서, 19번의 개별 길이와 누적 거리도 별도로 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합의 성질과 거듭제곱의 합을 정리하세요. 합의 첨자와 고정된 문자를 구분하고 상수항의 반복 횟수를 표시하세요(1·6번 대비).
2. 삼각함수 그래프의 중심선·진폭·주기를 읽은 뒤 제한 구간과 점근선까지 확장하세요. 평행이동할 때 정의역도 함께 옮기세요(3·5·15번 대비).
3. 사인법칙, 코사인법칙, 넓이 공식을 그림의 조건에 따라 선택하세요. 중근 조건과 삼각함수 관계를 연결하는 유형도 정리하세요(2·7·9·20번 대비).
4. 등차·등비수열은 일반항을 구한 뒤 부호와 정수 조건을 확인하세요. 부분합의 최대, 절댓값의 경우 구분, 정수 범위의 최적화를 이어서 연습하세요(8·10·11·13번 대비).
5. 합에서 일반항을 복원하는 유형은 첫째항과 경계를 따로 처리하세요. 인수분해의 조건과 부분분수의 소거 구조도 함께 확인하세요(14·17·21번 대비).
6. 점화식은 규칙 전환과 홀짝 분리를 먼저 살피세요. 좌표와 길이를 수열로 표현하는 도형 유형까지 넓혀, 일반항과 누적합의 역할을 구별하세요(4·12·16·18·19번 대비).