백영고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

백영고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

백영고등학교는 경기 안양시에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수의 뜻과 일대일성, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열과 조합입니다. 모든 문제가 객관식이지만, 복합 조건을 스스로 정리해야 하는 문항이 많아 선택지가 있다는 이유로 계산만 서두르기 어렵습니다.

초반에는 순열의 수, 합성함수의 함숫값, 점근선처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 같은 개념이 교점 개수나 치역 조건, 제한된 선택의 문제로 바뀝니다. 공식을 아는 것에서 그치지 않고 어떤 조건에서 사용할 수 있는지 설명할 수 있어야 합니다.

함수 문제와 경우의 수 문제가 서로 떨어진 영역으로만 나오지 않는 점도 눈여겨보세요. 11·16번은 함수의 치역과 대응 조건을 경우의 수로 옮겨야 합니다. 그래프를 읽는 힘과 빠짐없이 세는 힘을 함께 준비하는 것이 이 시험에 맞는 학습 방향입니다.

난이도 분포 — 초반 기본 확인 뒤 이어지는 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움에 해당하는 1~6번은 순열·조합의 구별, 곱의 법칙, 합성 순서와 일대일성 등 기본기를 확인합니다. 이 구간에서 풀이를 간결하게 마무리하고 검산할 여유를 확보해야 뒤의 조건 해석에 시간을 쓸 수 있습니다.

7번부터는 어려움 문항이 나오지만 번호가 커질수록 일률적으로 어려워지는 배열은 아닙니다. 보통으로 분류된 8·15·18번이 중간에 있으므로 앞에서 막혔다고 다음 문항까지 미루지 마세요. 특히 18번은 구간별 치역을 정리하는 접근이 분명한 문항입니다.

마지막 19~23번은 모두 어려움으로, 역함수의 대응 추론부터 선택 조건, 그래프 교점, 경로, 도형과 합성함수까지 생각의 방향이 계속 바뀝니다. 앞 문제의 풀이 방식에 매달리기보다 새 문항에서 먼저 정리할 대상을 판단해야 합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 무리함수의 부담

순열조합은 가장 많이 출제됐지만 기본 순열 계산부터 조건부 선택과 경로까지 폭이 넓습니다. 1·3·6번의 기본 원리를 8·15번의 묶기와 구성 분류로 확장한 뒤, 20·22번의 복합 조건을 연습하는 순서가 적절합니다.

무리함수의 7·12·17·21번은 모두 어려움입니다. 역함수와의 관계, 직선과의 만남, 계수 부호의 추론, 구간별 그래프 해석으로 주제가 달라 단순한 그래프 평행이동만 준비해서는 부족합니다. 정의역과 끝점, 증가·감소 방향을 말로 설명하는 연습이 필요합니다.

단원 표는 등록된 분류를 따르지만 실제 풀이에서는 경계를 넘는 문제가 있습니다. 유리함수로 분류된 9번은 구간별 함수의 반복 합성이 핵심이며, 합성함수와역함수의 13번은 주기적 그래프와 직선의 교점을 다룹니다. 복습할 때는 단원명과 함께 실제 사용한 개념을 표시하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 안양시의 같은 시험 범위

2023학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 안양시 학교들과 비교하면, 백영고는 총 23문항으로 이웃 학교 평균 21.0문항보다 많습니다. 서술·단답형은 없으며 이웃 학교 평균은 1.4문항입니다. 별도 서술형이 없어도 문항마다 판단 근거를 적으며 푸는 연습은 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 백영고가 61%, 이웃 학교 평균은 46%이며 백영고는 6개교 중 3위입니다. 문항 수와 어려움 비율을 함께 보면 기본 문제에서 시간을 확보한 뒤 복합 조건에 배분하는 연습이 중요합니다. 이 수치만으로 실제 응시자의 체감 난이도를 확정할 수는 없습니다.

비교 학교 모두 가장 많이 나온 단원은 순열조합입니다. 다만 가장 많은 단원이 같다고 세부 출제 비중까지 같다는 뜻은 아닙니다. 백영고 학생은 순열조합의 조건 분류를 우선 익히면서, 이 시험에서 어려움으로 분류된 무리함수 문제도 따로 묶어 준비하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 계산량만으로 난도를 설명하기 어렵습니다. 도형이나 조건을 함수·경로의 구조로 바꾸고, 경계에서 경우가 달라지는 지점을 찾아야 합니다. 분석상 고난도 문항으로 골랐으며, 이용자 투표로 가장 어려운 문항이 확정된 것은 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 문항을 안정적으로 해결하고, 7번에서 접근이 잡히지 않으면 표시한 뒤 이어가세요. 8·15·18번처럼 중간에 있는 보통 문항을 놓치지 않는 운영이 필요합니다. 실제 연습에서는 답을 고르는 데 쓴 시간과 조건을 이해하는 데 쓴 시간을 구분해 기록해 보세요.

12·13·21·23번은 작은 개형이나 구간표를 먼저 만드는 편이 좋습니다. 교점 문제에서는 끝점 포함 여부, 제곱 전 부호, 같은 점의 중복을 확인하세요. 7번에서 함수와 역함수의 교점을 대칭축 위라고 바로 단정하는 것도 피해야 합니다. 주어진 점을 각각의 함수 관계로 옮겨야 합니다.

경우의 수에서는 8번의 묶음 내부 순서, 15번의 집단별 최소 선택 조건, 20번의 추가 공통 선택 금지, 22번의 도로 재통과 여부를 확인하세요. 마지막 검토 시간에는 긴 계산을 반복하기보다 적어 둔 조건이 최종 후보와 일치하는지 살펴보세요. 객관식이어도 제외할 이유를 남겨야 재검토가 빨라집니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합·곱의 법칙의 선택 근거를 설명한 뒤 계산하세요. 순서 유무와 동시 선택을 구별하는 기본 연습입니다(1·3·6번 대비).
2. 합성 순서와 일대일성을 확인하고, 대응표에서 역으로 원소를 찾는 연습을 하세요. 합성식은 적용 순서를 표시하며 정리하세요(2·5·19번 대비).
3. 순열의 묶기와 제외, 집단별 선택 구성을 익힌 뒤 서로 겹치는 선택을 제한하는 문제로 확장하세요. 경우가 빠짐없이 나뉘는 이유도 적어 보세요(8·15·20번 대비).
4. 점근선·끝점·증가와 감소·구간별 치역을 작은 그래프로 정리하세요. 접점뿐 아니라 경계에서 교점이 생기는 경우도 확인하세요(4·10·12·17·18번 대비).
5. 함수의 치역 조건을 원소 분류와 대응 경우의 수로 바꾸세요. 치역의 모든 값이 실제로 나타나는지 마지막에 검토하세요(11·16번 대비).
6. 주기적 그래프, 구간별 그래프, 이동하는 점의 넓이 함수를 묶어 연습하세요. 식을 세우기 전에 구간과 경계의 의미를 말로 설명하세요(9·13·21·23번 대비).
7. 경로의 이동량을 방향별로 정리하고, 도로 재사용 조건을 반영한 분류표를 만드세요. 이후 이 시험을 시간 제한 아래 다시 풀며 표시해 둔 문항으로 돌아오는 연습을 하세요(22번 대비).