용산고등학교
2024년 1학년 1학기 중간고사

용산고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

용산고등학교는 서울 용산구에 있습니다. 이 시험은 다항식의 연산과 인수분해, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 이차함수의 그래프와 최대·최소를 다룹니다. 단순 계산부터 조건을 해석해 식의 형태를 정하는 문항까지 이어집니다.

초반에는 동류항 정리, 나머지정리, 근과 계수의 관계, 판별식, 완전제곱식을 직접 적용합니다. 후반에는 같은 도구를 써도 적용 순서를 스스로 정해야 합니다. 조건을 읽고 풀이 도구를 고르는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 처음부터 모두 어렵게 이어지지 않습니다. 음의 제곱근, 켤레근, 인수분해와 넓이의 최대를 다루는 기본 문항을 먼저 확보하고 마지막 문제에 시간을 남기세요.

난이도 분포 — 기본 문항 확보 후 객관식 후반에 대비

쉬움인 2~9번은 기본 개념을 적용하는 구간입니다. 보통인 10번은 복소수 명제를 판정하므로 조건에 맞는 반례를 고르는 태도가 중요합니다. 번호만으로 풀이 부담을 예상하지 마세요.

11~18번은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 항등식의 차수와 대입값 선택, 정수 계수 인수분해, 복소수의 실수 조건, 이차함수의 경우 구분이 연속됩니다. 앞 문항에서 막힌 상태로 다음 문항을 읽기보다, 새 문항의 조건부터 다시 정리해야 합니다.

1번은 자동 분류 기준 어려움이며 단원도 여러가지방정식으로 등록돼 있지만, 확인되는 내용은 허수단위의 제곱을 묻는 기본 계산입니다. 따라서 어려움 비율을 실제 풀이 부담과 동일하게 해석해서는 안 됩니다. 19~23번 역시 뒤쪽에 있다는 이유만으로 미뤄 두지 마세요.

출제 단원 — 이차함수의 비중과 항등식의 연결 과정

가장 많은 이차함수에서는 교점과 판별식, 꼭짓점과 최솟값을 확인한 뒤 실근 개수 비교와 제한된 구간의 최대·최소로 확장합니다. 5·8·9번의 그래프 해석을 정확히 익히고, 16·18번에서 매개변수에 따른 경우 구분으로 연결하는 순서가 좋습니다.

항등식은 기본 나머지정리와 계수 비교에서 출발해 차수 비교, 완전제곱식 조건, 몫과 나머지의 관계, 고차식의 차수 낮추기로 이어집니다. 같은 단원 안에서도 풀이 도구가 달라지므로 모든 문제를 전개와 계수 비교만으로 처리하려 하지 마세요.

다항식에서는 인수분해의 범위와 정수 조건이, 복소수에서는 실수 조건과 켤레의 관계가 중요합니다. 여러가지방정식이라는 분류만으로 실제 사차방정식 풀이가 출제됐다고 해석하지 마세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 과목 시험

2024학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 용산고는 총 25문항으로 이웃 학교 평균 21.9문항보다 많고 서술·단답형도 7문항으로 평균 5.6문항보다 많습니다. 문제를 읽고 답안을 옮기는 시간까지 고려한 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 44%로 이웃 학교 평균 25%보다 높으며, 이 학교를 포함한 11개교 중 2위입니다. 다만 앞서 본 1번처럼 분류와 실제 내용에 차이가 있는 문항이 있으므로, 이 순위를 체감 난이도의 확정 순서로 받아들이기보다 후반 문항을 점검할 근거로 활용하세요.

다항식이 가장 많은 진명여자고등학교·풍문고등학교 등과 달리, 용산고는 이차함수의 비중이 가장 높습니다. 용산고 대비에서는 다항식 계산을 바탕으로 그래프와 구간 조건을 해석하는 훈련까지 이어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

공통점은 계산 전에 조건을 정리해야 한다는 것입니다. 그래프의 경계, 축과 구간의 위치, 지수의 시작점처럼 풀이를 나누는 기준을 먼저 적으세요. 이용자 투표가 아니라 풀이 구조를 살펴 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 기본 계산과 개념 적용 문항을 풀며 풀이가 길어지는 문제에 표시하세요. 1번의 자동 난이도 표시에 위축될 필요는 없습니다. 2~9번에서 부호와 판별식의 등호 여부를 확인한 뒤, 객관식 후반에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 서술·단답형의 기본 문항으로 이동하는 연습이 좋습니다.

19~23번은 답안에 계산이나 설명을 남길 시간을 확보해야 합니다. 21번에서는 인수분해 범위를 확인하고, 22번에서는 변형한 식으로 소수가 아님을 설명하는 연결 문장을 쓰세요. 23번은 변의 길이가 연속적으로 바뀌는 상황이 아니라 막대 개수로 정해진다는 조건을 끝까지 유지해야 합니다.

검토할 때는 12번의 제곱식 부호, 13번의 자연수와 서로 다른 인수 조건, 15번의 허수 및 분모 조건, 16번의 접하는 경계, 18번의 축 위치를 우선 확인하세요. 24번의 차수 낮추기 과정과 25번의 범위 확인은 계산 중간에 기록해 두어야 마지막 검토에서도 추적하기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 연산과 그래프 언어를 정리하세요(2~9번 대비). 동류항, 근과 계수의 관계, 판별식, 꼭짓점을 조건에 맞게 선택하는 연습부터 시작하세요.
2. 항등식의 풀이 방법을 비교하세요(3·7·11·12번 대비). 차수 비교로 후보를 줄이고, 계수 비교와 수치대입 중 계산이 짧아지는 방법을 골라 보세요.
3. 인수분해와 공통부분 치환을 연결하세요(13·21·22번 대비). 정수 조건과 인수분해 범위를 먼저 표시하고, 변형한 식이 원래 조건을 만족하는지 확인하세요.
4. 나머지의 차수와 나눗셈 항등식을 익히세요(14·24번 대비). 몫과 나머지의 관계를 식으로 쓰고 고차항을 낮추는 과정을 줄마다 남겨 보세요.
5. 복소수의 정의와 반복 구조를 묶어 복습하세요(10·15·19·20·25번 대비). 반례, 켤레, 음의 제곱근, 거듭제곱을 구분해서 적용하세요.
6. 이차함수의 축과 구간을 그림으로 정리하세요(16·18·23번 대비). 경계에서의 교점 수와 정수 범위의 최댓값까지 확인하세요.
7. 이차방정식의 근을 이용한 식 변형을 연습하세요(17번 대비). 직접 근을 구하기 전에 거듭제곱과 역수항을 묶을 수 있는지 살펴보세요.