둔촌고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

둔촌고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

둔촌고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 극값에서 출발해 넓이와 운동, 적분으로 정의된 함수까지 살펴보는 구성입니다.

미분 문제에서는 도함수를 구하는 계산 다음의 해석이 중요합니다. 접점의 위치, 극값을 갖는 지점의 순서, 실근 개수가 바뀌는 높이를 읽어야 합니다. 적분에서도 원시함수를 구하는 데 그치지 않고 대칭성이나 초기 위치, 함수의 최솟값을 함께 적용해야 합니다.

기본 계산을 확인하는 문항과 여러 조건을 연결하는 문항이 섞여 있습니다. 특히 서술·단답형은 운동 상황에서 높이와 거리를 구별하는 문제에서 시작해 사차함수와 적분함수의 조건 해석으로 이어집니다. 풀이의 출발 근거와 마지막 검증을 함께 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반의 조건 해석과 마지막 서술형

1~4번은 자동 분류 기준 보통이지만 접선, 평균값 정리, 극값의 존재 조건, 닫힌구간의 최대·최소를 각각 확인합니다. 같은 미분 활용이라도 적용할 조건이 다릅니다. 익숙한 계산만 반복하기보다 어떤 정리와 그래프 판단을 사용하는지 구별해야 합니다.

5~7번에서 어려움 문항이 이어진 뒤 8·9번은 쉬움으로 돌아옵니다. 10번 이후에도 난도가 오르내리므로 앞의 막힌 문제에 시간을 모두 쓰지 마세요. 적분 기본형인 12·13번과 넓이·위치를 다루는 14·16번을 확인하면 풀이 흐름을 다시 잡을 수 있습니다.

서술·단답형에서는 18번이 보통, 19·20번이 어려움입니다. 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다. 다만 마지막에는 극값 조건을 식으로 바꾸고 후보를 검토하는 과정이 필요하므로 계산 시간 외에 조건을 정리할 시간도 남겨 두세요.

출제 단원 — 도함수 활용을 중심으로 적분까지 연결

가장 많은 도함수의활용에서는 접선부터 사차함수의 극값까지 다룹니다. 3번은 도함수의 근이 정해진 구간 안에 있는지, 6번은 함수의 최솟값과 수평선이 어떻게 놓이는지, 19번은 극대·극소 지점이 어떤 순서를 갖는지 확인합니다. 도함수의 근을 구한 다음 부호표로 의미를 설명하는 연습이 중심이 되어야 합니다.

적분에서는 넓이와 운동뿐 아니라 함수 자체를 결정하는 유형도 중요합니다. 11번은 부정적분이 포함된 등식을 미분하고, 12번은 고정 구간 정적분을 상수로 두며, 20번은 적분함수의 도함수로 원래 함수를 해석합니다. 식의 형태에 따라 미분할지, 상수로 치환할지 먼저 판단하세요.

함수의연속은 7번에 나타나지만 그래프의 교점 개수를 해석해야 하므로 따로 떼어 준비하기 어렵습니다. 미분계수와도함수의 5·10번 역시 극한의 의미와 함수 관계식을 연결합니다. 단원 이름이 달라도 조건을 다른 수학적 표현으로 옮기는 능력이 반복해서 요구됩니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강동구의 미분·적분 구성

같은 2024학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 강동구 학교들과 견주면, 이웃 학교 평균은 총 23.2문항, 서술·단답형 4.0문항입니다. 둔촌고는 총 20문항과 서술·단답형 3문항으로 이 평균보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율도 40%로 이웃 학교 평균 64%보다 낮으며, 어려움 비율 순위는 5개교 중 5위입니다.

둔촌고와 동북고등학교·배재고등학교·한영고등학교는 도함수의활용이 가장 많은 단원이고, 한영외국어고등학교는 정적분이 가장 많습니다. 둔촌고 학생은 미분 활용의 기본형을 먼저 안정시키되, 마지막 정적분 문항처럼 극값과 적분을 연결하는 유형까지 준비해야 합니다. 문항 수나 분류 비율만 보고 후반 조건 검토 시간을 줄이지 마세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 식으로 바꾸는 단계와 얻은 결과를 그래프로 검증하는 단계가 나뉩니다. 풀이를 마칠 때 최초의 연속 조건, 극값 순서, 전체 최솟값 조건 중 확인하지 않은 것이 없는지 돌아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 5~7번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 8·9번으로 넘어가는 운영을 연습할 만합니다. 후반에도 14·16번처럼 기본적인 적분 활용이 있으므로 객관식 앞부분에 시간을 모두 사용하지 마세요.

서술·단답형은 먼저 필요한 관계를 짧게 적어 두세요. 18번은 초기 높이와 속도 부호가 바뀌는 시각, 19번은 도함수의 인수 형태와 근의 순서, 20번은 적분함수의 미분 관계가 출발점입니다. 계산이 길어질 때도 어떤 조건을 사용했는지 표시하면 다시 읽는 시간을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토는 경계와 부호를 중심으로 하세요. 3번의 열린구간, 6번에서 접하는 경우의 제외, 7번의 경계 함수값을 확인하세요. 운동 문제에서는 위치와 거리를, 15번에서는 넓이와 부호 있는 정적분을 구별하고, 19·20번에서는 후보가 원래 극값 조건을 충족하는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선과 평균값 정리를 복습하세요. 접점의 미지수와 구간의 끝점, 정리가 보장하는 내부 지점을 구별해 적어 보세요(1·2번 대비).
2. 도함수의 근과 부호표로 극값 및 최대·최소를 판단하세요. 열린구간과 끝점, 곡선이 접하는 경계를 함께 확인하세요(3·4·6번 대비).
3. 미분계수의 정의와 곱의 미분법을 함수 관계식에 적용하세요. 극한 조건에서 함숫값을 먼저 얻는 과정을 연습하세요(5·10번 대비).
4. 부정적분과 정적분의 기본 관계를 정리하세요. 적분상수, 고정 구간 정적분의 상수 처리, 대칭성을 각각 구별하세요(9·11·12·13번 대비).
5. 넓이와 운동 문제를 묶어 풀어 보세요. 위아래 함수와 속도의 부호를 표시하고 위치·높이·이동거리에 필요한 식을 구별하세요(8·14·15·16·18번 대비).
6. 그래프 조건으로 함수를 복원하는 유형을 마무리하세요. 교점 개수, 절댓값의 미분가능성, 극값 순서, 전체 최솟값을 검증하는 근거를 쓰세요(7·17·19·20번 대비).