백영고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

백영고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

백영고등학교는 경기 안양시에 있습니다. 이 시험은 부정적분과 정적분, 정적분의 활용을 중심으로 도함수의 정의와 활용을 함께 다룹니다. 적분 단원에 속한 문항에서도 미분가능성이나 극값 조건을 해석해야 하므로 미분과 적분을 연결해 공부해야 합니다.

초반에는 원시함수의 미분, 다항함수의 정적분, 위치와 속도의 관계처럼 출발점이 분명한 문항이 배치되어 있습니다. 그러나 9번에서는 구간 적분값 사이의 관계를 찾아야 하고, 12번에서는 절댓값 함수의 미분가능성을 판단해야 합니다. 번호가 앞에 있다는 이유로 계산형이라고 예상하면 풀이 흐름이 끊길 수 있습니다.

후반은 최댓값으로 정의한 함수, 도함수와의 부등식, 정적분으로 정의한 함수의 극값처럼 조건을 식이나 그래프로 바꾸는 문항이 이어집니다. 모두 객관식이지만 중간 논리를 생략하기보다 부호표와 경우 구분을 짧게 적어 두는 방식이 검산에 유리합니다.

난이도 분포 — 15번부터 이어지는 어려움 구간

자동 분류 기준 쉬움 구간은 기본 연산과 운동 해석이 중심입니다. 6번은 정적분값을 상수로 놓는 발상이 필요하고, 8·13번은 이동 거리를 부호 있는 변위와 구별해야 합니다. 쉬움으로 분류됐더라도 개념을 잘못 적용하면 계산을 끝내고도 실수할 수 있습니다.

보통 문항은 계산 전에 관계를 정리하는 단계가 더해집니다. 7번은 교점과 그래프의 위아래, 10번은 함수 관계식과 미분계수의 정의, 11번은 절댓값 방정식의 실근 개수, 14번은 속도·가속도·위치의 구별을 확인합니다.

9·12번을 제외하면 어려움 문항은 15~23번에 집중됩니다. 특히 정적분 문항과 도함수 활용 문항이 번갈아 등장하므로 한 가지 계산 절차만 반복해서는 대응하기 어렵습니다. 난이도 표시는 자동 분류 기준이며, 개별 학생의 체감 난이도는 그래프 해석 숙련도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 정적분 중심의 미분·적분 연결

가장 많은 단원은 정적분입니다. 다만 2·3번의 직접 계산과 20·21번의 적분함수 해석은 준비 방법이 다릅니다. 후반 정적분 문항에서는 적분 대상의 부호, 도함수의 근, 경계에서의 미분가능성 등을 먼저 정리해야 계산할 식이 드러납니다.

정적분의활용은 운동 문항과 곡선 사이 넓이를 다룹니다. 4·5·8·13·14번을 연결해 풀면서 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도, 속도를 적분하면 위치의 변화라는 관계를 설명할 수 있어야 합니다. 이동 거리를 구할 때는 속도의 부호가 바뀌는 지점을 따로 확인하세요.

도함수의활용은 극값, 절댓값, 실근 개수, 부등식이 핵심입니다. 이 단원을 적분과 분리하지 말고 그래프를 판단하는 도구로 익히세요. 12번의 단순근과 중근 구별은 21번의 극값 조건을 읽는 데도 도움이 됩니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 안양시의 같은 시험

2023학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 안양시 이웃 학교들의 평균 문항 수는 20.5문항, 서술·단답형은 평균 1.0문항입니다. 백영고는 23문항으로 풀어야 할 문항이 더 많으며, 서술·단답형 없이 객관식으로 구성되어 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 백영고가 48%로 이웃 학교 평균 44%보다 높으며, 5개교 중 2위입니다. 이웃 학교에서도 어려움 비율이 비슷한 시험이 있지만, 이 비율만으로 실제 풀이 시간이나 체감 난이도까지 같다고 볼 수는 없습니다.

백영고와 양명여자고등학교는 정적분이 가장 많은 단원이고, 신성고등학교·양명고등학교·부흥고등학교는 도함수의활용이 가장 많습니다. 백영고 학생은 적분 계산 연습에 더해 적분함수를 미분해 해석하는 연습을 우선하고, 객관식 전 문항을 끝까지 검토하는 훈련을 해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 분석상 고난도 문항들은 적분 연산 자체보다 적분 전에 새 함수의 형태를 확정하는 과정이 어렵습니다. 부호표나 개형을 먼저 적고, 경우를 나누는 경계가 왜 생기는지 말로 설명할 수 있어야 비슷한 변형에도 대응할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 계산과 운동 해석을 차분히 마치고, 9번의 구간 관계가 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 12번에서 막혀도 13·14번을 먼저 풀 수 있습니다. 자동 분류 기준의 어려움 문항이 중간에 끼어 있으므로 번호 순서대로 끝까지 해결하려는 고집은 줄이세요.

15~23번에는 어려움 문항이 이어집니다. 각 문항에서 필요한 부호표나 조건식을 적은 다음 실제 풀이가 진전되는지 판단하세요. 진전이 없는 문항은 재검토 대상으로 남기고, 함수의 형태가 이미 정리된 문항부터 계산을 끝내는 편이 좋습니다.

검산에서는 5번의 출발 후 조건, 8·13번의 거리와 변위, 12번의 중근, 18번의 집합 중복, 20·21번의 부호 변화, 22번의 경계 조건을 확인하세요. 23번처럼 약분이 필요한 문항은 약분에서 제외된 지점이 연속성으로 연결되는지 따로 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 적분과 적분상수부터 정리하세요. 원시함수를 미분해 검산하고 정적분의 위끝·아래끝 대입 순서를 고정하세요(1·2·3·6번 대비).
2. 운동 해석과 넓이를 연습하세요. 속도의 부호표를 그리고 거리·변위·가속도를 구별한 뒤, 그래프의 위아래를 확인해 적분하세요(4·5·7·8·13·14번 대비).
3. 함수 관계식과 구간 적분을 기호로 정리하세요. 미분계수의 정의를 적용하거나 이웃한 적분 조건을 빼는 연습을 하세요(9·10번 대비).
4. 절댓값과 근의 중복을 함께 공부하세요. 수평선의 높이에 따라 교점과 극값이 어떻게 달라지는지 그림으로 확인하세요(11·12·18·19번 대비).
5. 부호와 최댓값에 따라 식을 구간별로 만드는 연습을 하세요. 부등식이 전체 구간에서 유지되는 조건도 함께 점검하세요(15·16·17번 대비).
6. 적분함수를 미분해 극값을 찾고 경계에서 함숫값과 미분계수를 맞추세요. 마지막에는 합성방정식의 실근 개수를 개형으로 검토하세요(20·21·22·23번 대비).