백마고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

백마고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

백마고등학교는 경기 고양시에 있습니다. 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 성질부터 그래프의 위치 관계와 조건을 만족하는 배치까지 다루므로, 공식 암기와 함께 조건을 해석하는 연습이 필요합니다.

객관식만으로 구성되어 있어도 풀이 과정에서 판단해야 할 내용은 적지 않습니다. 구간별 함수의 합성은 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 어느 구간으로 들어가는지 추적해야 합니다. 경우의 수는 먼저 자리를 정하는지, 대상을 고르는지에 따라 계산 구조가 달라집니다.

함수와 순열조합을 완전히 분리해 공부하는 방식에도 한계가 있습니다. 12번은 함수의 조건을 만족하는 대응을 세고, 16번은 나머지로 정의된 함수의 치역과 합성을 살핍니다. 표현이 낯설 때도 정의를 표나 그림으로 바꾸는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1~3번은 일대일대응의 그래프, 자연수 순서쌍 세기, 일차함수의 합성 조건을 다룹니다. 보통인 4·5·10번도 대칭의 중심, 순열과 조합의 관계, 역함수의 입력과 출력을 정확히 구별해야 합니다. 이 문항들에서 불필요한 계산을 줄여야 이후 조건 검토에 시간을 쓸 수 있습니다.

6~9번에서 어려움 문항이 이어진 뒤 10번이 보통으로 분류됩니다. 따라서 번호 순서대로 끝까지 해결하려고 고집하지 마세요. 11~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움이며, 구간별 합성부터 분배, 격자 배치, 대진표까지 풀이 방식이 다양합니다.

난이도 표는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 개인별로 그래프와 경우의 수 중 익숙한 영역이 다를 수 있으므로, 처음 풀 때 접근이 보이는 문항을 표시하고 재도전할 순서를 정해 두세요.

출제 단원 — 순열조합과 함수 조건의 결합

순열조합은 2·5·6·15·17·20번입니다. 기본적인 개수 세기와 기호의 성질에서 출발해 이웃 조건, 공의 분배, 격자 배치, 대진표로 이어집니다. 각 문제마다 무엇을 같은 경우로 볼 것인지 정하고, 선택과 배열을 구별해 계산해야 합니다.

합성함수와역함수는 3·7·10·11·18번에 걸쳐 있습니다. 식을 대입하는 기본형뿐 아니라 반복 합성의 순환, 역대응, 구간별 그래프 해석이 포함됩니다. 함수 단원의 12·16번도 대응을 세거나 합성의 성질을 판단하므로, 함수의 정의를 바탕으로 연결해 복습하세요.

유리함수의 4·8·9·19번은 대칭과 점근선에서 시작해 직선의 위치 관계와 도형의 최솟값으로 확장됩니다. 무리함수의 13·14·21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 정의역과 치역, 역함수와의 교점, 제곱 후 후보 검토가 공통적으로 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 어려움 비율

같은 2023학년도 1학년 2학기 기말 수학(하)를 치른 경기 지역 학교들과 견주면, 백마고는 총 21문항으로 지역 평균 20.7문항과 비슷합니다. 서술·단답형은 없으며 지역 평균은 2.0문항입니다. 형식의 부담은 객관식 풀이 안에서 조건을 정확하게 판단하는 쪽에 집중됩니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 71%로 지역 평균 51%보다 높으며, 11개교 중 1위입니다. 이는 자동 분류에 따른 문항 구성의 순위입니다. 실제 응시자의 성취 수준을 뜻하지 않으므로, 어려움 비율은 연습 문제의 조건 처리 수준을 정하는 참고로 활용하세요.

가장 많은 단원은 백마고와 여러 이웃 학교에서 순열조합이며, 분당중앙고등학교는 합성함수와역함수입니다. 백마고 학생은 순열조합의 다양한 상황을 익히면서 함수의 구간과 역대응도 함께 준비해야 합니다. 객관식이라는 이유로 계산 결과만 고르는 연습에 치우치지 말고 조건이 필요한 이유를 설명해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 허용되는 범위를 정해야 한다는 것입니다. 치역, 입력 구간, 같은 대진의 기준을 먼저 정리한 뒤 계산하면 누락과 중복을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 6~9번에서 접근이 막히면 표시한 뒤 10번을 확인하세요. 이후 문항도 익숙한 유형부터 풀 수 있도록 전체를 훑어보세요. 배점이나 시험 시간이 확인되지 않았으므로 분 단위의 고정 배분보다 자신의 유형별 소요 시간을 기록하는 방식이 적절합니다.

경우의 수에서 계산을 길게 시작하기 전에는 분류 기준을 짧게 적으세요. 15번은 최소 배치와 상한, 17번은 많이 쓰이는 문자의 자리, 20번은 같은 대진의 기준을 정리하는 시간이 필요합니다. 경우를 나누는 기준이 흔들리면 계산을 반복하게 되므로 풀이 구조를 먼저 확인하세요.

마지막 검토에서는 계산 전의 조건으로 돌아가세요. 13번은 치역의 경계 포함 여부, 14·21번은 정의역과 제곱 전 부호, 18번은 근의 구간 소속을 확인해야 합니다. 19번도 부등식의 등호가 실제 점에서 가능한지 확인해야 최솟값 판단이 완성됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 일대일대응과 함수의 정의역·공역·치역을 그림과 대응표로 정리하세요. 공역과 실제 출력의 집합을 구별하는 설명부터 연습하세요(1·12·16번 대비).
2. 합성 순서와 역대응을 화살표로 추적하세요. 식의 대입에서 출발해 반복 합성의 순환과 역함수의 입력 찾기로 확장하세요(3·7·10번 대비).
3. 구간별 함수는 각 구간의 치역과 경계 포함 여부를 기록하세요. 합성할 때 입력 구간을 다시 나누고 후보를 원래 조건에 대조하세요(11·13·18번 대비).
4. 유리함수는 점근선과 대칭점을 먼저 표시하세요. 고정점을 지나는 직선의 기울기와 점근선까지의 거리를 이용하는 유형을 연습하세요(4·8·9·19번 대비).
5. 경우의 수는 선택·배열·묶음을 구별한 뒤 제한이 많은 자리부터 처리하세요. 공의 최소 배치와 격자의 이웃 조건도 같은 순서로 정리하세요(2·5·6·15·17번 대비).
6. 역함수 그래프의 교점과 대진표를 마무리 연습으로 풀어 보세요. 교점에서는 정의역 검토를, 대진표에서는 중복 계산 검토를 별도로 적으세요(14·20·21번 대비).