병점고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

병점고 2학년 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

병점고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 평균변화율과 미분계수, 도함수 및 접선의 활용입니다. 수렴값을 구하는 계산에서 출발해 함수의 성질을 조건으로 옮기는 문제까지 연결됩니다.

초반에는 우극한과 평균변화율처럼 정의를 직접 적용하는 문제가 있습니다. 이후에는 역함수의 그래프, 도형의 접선, 연속이 되는 매개변수, 다항식의 나눗셈과 미분의 관계가 등장합니다. 공식을 알고 있는지뿐 아니라 어떤 형태로 바꾸어 써야 하는지 판단하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형도 풀이의 출발점이 서로 다릅니다. 18번은 극한의 존재로 인수를 찾고, 19번은 항등식과 연속성을 연결하며, 20번은 곱의 차를 미분계수 형태로 분리합니다. 객관식 풀이 뒤에도 이런 논리의 연결을 문장으로 남길 여유가 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1·2번입니다. 우극한에서 적용할 식을 고르거나 평균변화율의 분모를 정확히 쓰는 기본기를 확인합니다. 보통으로 분류된 3~6번도 연속과 미분가능성, 무한대에서의 극한, 접선의 조건을 구별해야 하므로 단순 대입만으로 처리할 구간은 아닙니다.

7~11번은 그래프 판단, 도형, 사잇값의 정리, 항등식, 거리의 극한으로 풀이 방식이 바뀝니다. 앞 문제에서 쓰던 방법을 그대로 이어가기보다 각 문제의 첫 변환을 새로 찾아야 합니다. 12번을 지나면 다시 어려움 구간이 이어지므로, 중반에 풀이가 지체되면 후반을 살펴볼 기회를 확보하세요.

18·19번은 어려움, 20번은 보통입니다. 다만 이 분류가 개인별 소요 시간을 정해 주지는 않습니다. 서술형을 미리 훑어 자신이 근거를 명료하게 적을 수 있는 문항부터 처리하면, 마지막 번호까지 확인하지 못하는 상황을 줄일 수 있습니다.

출제 단원 — 미분의 정의와 연속 조건을 함께 준비

미분계수와도함수는 평균변화율에서 시작해 미분가능성, 항등식, 극한의 변형까지 다룹니다. 특히 10·13번은 미분 공식을 직접 묻기보다 다항식 조건을 해석하는 데 사용합니다. 도함수를 구한 뒤 무엇을 대입하거나 비교할지까지 묶어 연습하세요.

함수의연속에서는 곱의 연속성, 평행이동된 함수의 경계, 정수에서 별도로 정한 함숫값이 등장합니다. 연속 조건을 같은 방식으로 암기하면 경우를 놓칠 수 있습니다. 극한이 존재하는지, 그 극한이 실제 함숫값과 일치하는지를 나누어 확인해야 합니다.

도함수의활용에서는 접선을 식과 도형 양쪽에서 해석합니다. 5번의 접점 설정을 익힌 뒤 8번의 도형 조건, 16번의 접점을 잇는 직선으로 확장하면 좋습니다. 함수의극한 역시 11번처럼 거리식을 세우는 단계와 계산 단계를 연결해 준비해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 풀이 구조를 기준으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 개별 계산 결과를 얻은 뒤에도 경우의 누락, 중복, 매개변수에 대한 성립 조건을 점검해야 한다는 것입니다. 계산이 끝났다는 이유로 검토를 멈추지 않는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~6번에서 사용할 정의와 식을 빠르게 정하고, 조건 정리가 길어지는 문항은 표시해 두세요. 7번 이후에는 문제가 요구하는 표현 방식이 자주 달라집니다. 접근법이 잡히지 않은 채 계산만 늘어나면 잠시 멈추고, 12번이나 서술·단답형 20번처럼 먼저 진행할 수 있는 문항을 확인하세요.

서술·단답형은 마지막 계산보다 중간 근거를 적는 데 시간이 필요합니다. 18번에서는 극한의 존재가 왜 인수 조건으로 이어지는지, 19번에서는 약분한 식으로 경계의 함숫값을 어떻게 정하는지 설명하세요. 20번은 곱의 차를 나누는 단계와 각 증가량에 맞게 미분계수를 만드는 단계를 구별해 적는 것이 좋습니다.

최종 검토에서는 3·17번의 연속성과 좌우미분계수, 9번의 겹치지 않는 구간, 14번의 경계 일치 여부, 15번의 열린구간과 중복 매개변수를 확인하세요. 접선 문제에서는 주어진 점이 접점인지 외부의 점인지도 다시 보세요. 같은 식을 재계산하는 것보다 빠진 조건이 없는지 확인하는 검토가 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한과 변화율의 정의부터 정리하세요. 접근 방향에 맞는 식 선택, 평균변화율의 구간 길이, 무한대에서 수렴하는 부분의 분리를 반복합니다(1·2·6번 대비).
2. 연속과 미분가능성을 순서대로 점검하세요. 먼저 함숫값과 좌우극한을 비교하고, 그 뒤 좌우미분계수를 비교하는 풀이 틀을 익힙니다(3·12·17번 대비).
3. 극한의 존재를 인수 조건으로 바꾸세요. 차수 판단, 분자가 소멸해야 하는 이유, 약분 후 극한 계산을 연결해 서술합니다(4·18번 대비).
4. 연속 조건의 경우 나누기를 연습하세요. 부호가 바뀌는 구간, 이동된 경계, 정수에서의 함숫값을 표와 그림으로 정리하고 후보의 중복을 확인합니다(9·14·15·19번 대비).
5. 접점을 미지수로 놓고 접선식을 세우세요. 도형의 대칭과 기울기를 먼저 파악하고, 접점의 근을 직접 구하기 어려우면 근과 계수의 관계를 사용합니다(5·7·8·16번 대비).
6. 다항식 조건과 미분을 함께 다루세요. 항등식의 차수와 인수 구조를 살피고, 나머지 조건을 함수와 도함수의 값으로 옮기는 연습을 합니다(10·13번 대비).
7. 변형의 목적을 설명하며 마무리하세요. 거리 차의 유리화와 곱의 차 분해를 각각 연습한 뒤, 왜 그 변형이 극한 계산을 가능하게 하는지 말로 확인합니다(11·20번 대비).